« Si la surface fondamentale est un hyperboloïde à deux nappes, la géométrie quadratique ne diffère pas de celle de Lobakhevski.
« Si cette surface est un paraboloïde elliptique, la géométrie quadratique se réduit à celle d’Euclide ; c’est un cas limité des deux cas précédents… »
Nous ajouterons que la géométrie plane est elle-même un cas particulier limité de la géométrie du paraboloïde elliptique.
En dehors de ce cas, les surfaces du second ordre à centre qui précèdent ne comportent pas de génératrices rectilignes réelles. Nous en devons conclure, à moins de refuser toute objectivité à la mécanique, que la vitesse et l’accélération étant représentées par des droites[1], nous nous trouvons dans un cas de géométrie plane à deux dimensions, géométrie où la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits (Postulatum d’Euclide).
Ce qui précède paraît s’éloigner de notre sujet ; mais nous avons cru devoir nous étendre un peu pour prévenir une objection possible de M. Calinon, s’il rejetait le Postulatum d’Euclide et ses conséquences.
Veuillez agréer, monsieur le Directeur, l’expression de ma considération très distinguée.
- ↑ Les lignes qui nous servent à représenter la vitesse et l’accélération, sont-elles réellement des droites ? ou bien ont-elles une courbure qui nous échappe, parce qu’elle serait suivant une quatrième dimension dont nos sens ne peuvent se rendre compte ? Evidemment l’objection est spécieuse et difficile à lever ; mais, dans ce cas, il n’y aurait plus de mécanique du tout, ou plutôt elle serait à refaire tout entière.
Si, d’une part, M. Poincaré a très bien montré quelle était la valeur des différentes géométries quadratiques au point de vue purement mathématique, M. Milhaud, d’autre part, a fait bonne justice (Revue philosophique, juin 1888) de la métagéométrie (géométrie à dimensions : ) au point de vue de sa réalité objective : il n’y faut voir que des conceptions de notre esprit dont il est difficile de tirer parti actuellement pour attaquer ou défendre les idées généralement admises par la science moderne. En tout cas, la mécanique n’est pas une science purement spéculative, quand elle étudie le monde extérieur et les lois qui régissent la matière. Nous nous en tiendrons donc, jusqu’à preuve contraire, à la géométrie d’Euclide et à l’espace triple.
