M. Calinon ; elles ne sont que la conséquence du point de départ, dont nous avons montré l’inexactitude.
Toutefois l’analyse à laquelle il soumet les principes de la mécanique ne nous paraît pas satisfaisante sur certains points ; nous ne partageons pas en particulier ses idées sur les durées égales (p. 288), sur la force et le mouvement (p. 293) ; mais la discussion de ces idées sortirait des limites de cette note et nous conduirait trop loin.
Nous trouvons, comme M. Calinon, que la base philosophique de la mécanique n’a pas été jusqu’ici établie d’une façon solide : il y a des points laissés dans l’ombre et qui méritent une étude approfondie. Mais ce n’est pas l’examen et la discussion de l’unité choisie plus ou moins explicitement, qui doit éclairer la question d’un jour nouveau ; car ce choix est absolument sans intérêt en géométrie pure, et la mécanique cherche toujours à ramener l’étude des fonctions qu’elle a à envisager à celle de grandeurs géométriques dirigées.
C’est donc de ce côté, croyons-nous, qu’il faut surtout travailler ; car il est incontestable que les principes de la géométrie se trouvent solidement établis, surtout depuis les belles recherches de M. Poincaré sur les hypothèses fondamentales de la géométrie (Bulletin de la Société mathématique de France, p. 203. Communication faite à la séance du 2 novembre 1887).
Le jeune et savant géomètre passe en revue les différentes géométries possibles et indique clairement quelles sont celles qui se trouvent éliminées par telle ou telle hypothèse. En particulier, il examine la portée du Postulatum d’Euclide ; et, comme tout à l’heure nous nous sommes appuyé sur un théorème qui en découle, nous indiquerons les conclusions de M. Poincaré qui légitiment l’emploi que nous avons fait, à condition toutefois de remarquer que la considération d’un point mobile, de sa vitesse et de son accélération ne comporte que deux directions, et dépend par conséquent de la géométrie plane, qui est à deux dimensions.
M. Poincaré distingue d’abord trois géométries à deux dimensions :
1o La géométrie euclidienne, où la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ;
2o La géométrie de Riemann, où cette somme est plus grande que deux droits ;
3o La géométrie de Lobatcherski, où elle est plus petite que deux droits. Par une généralisation habile, il interprète ces différentes géométries et recherche quelle peut être leur réalité objective ; il en arrive à conclure qu’il peut y avoir plusieurs géométries quadratiques (ou à deux dimensions), qui correspondent à différentes surfaces du 2e ordre.
« Si la surface fondamentale est un ellipsoïde, la géométrie quadratique ne diffère pas de la géométrie de Riemann (cas particulier : géométrie sphérique, où les arcs de grands cercles jouent le rôle de droites).
