Des huit premiers postulats, on peut déduire la théorie du triangle, considéré comme assemblage de droites, la théorie des droites et des plans perpendiculaires et une propriété de l’angle trièdre.
Si on laisse de côté le neuvième axiome, la théorie des figures semblables disparaît, les mesures des aires et des volumes sont profondément modifiées : on a ce qu’on appelle la géométrie non euclidienne, que l’on peut voir développée dans un opuscule de Lobatchewski, et dans un article du même auteur publié dans le journal de Crelle ; la philosophie mathématique de cette géométrie a été admirablement résumée il y a quelques années par M. H. Poincaré en quelques pages du Bulletin de la Société mathématique. Dans ces courtes pages, le lecteur curieux verra mentionné un beau théorème de M. Sophus Lie sur une limite du nombre des conditions capables de déterminer la situation d’une figure.
J’ai, dans cet article, systématiquement évité de me placer au point de vue analytique, mais j’espère néanmoins, en soulignant les faits de la géométrie, antérieurs au raisonnement, en avoir avec toute clarté indiqué la nature éminemment expérimentale.
