utile ; mais pas plus dans ces sciences que dans aucune autre, elle n’est l’instrument même de la découverte ; la force de l’esprit d’investigation réside : d’une part dans la puissance de l’induction, d’autre part dans le don, acquis ou inné, d’embrasser d’un coup d’œil les ensembles ; sans oublier toutefois le mystérieux élan qui entraîne le chercheur sans cesse en avant.
Cette remarque faite, je ne crains plus de dire que la fécondité des axiomes de la géométrie tient précisément à leur origine expérimentale. Dans le domaine intellectuel, comme dans le domaine moral, il n’y a point d’idées innées ; cependant, il y a en mathématiques un domaine où l’esprit paraît se mouvoir, en tirant tout de son propre fonds ; c’est l’analyse pure qu’un géomètre humoriste définissait un jour : « L’esprit du nombre s’aiguisant lui-même ».
En effet, en analyse, on se crée des problèmes, dont la complexité est toujours un charme, et on les résout quelquefois. L’histoire des sciences mathématiques atteste pourtant que les progrès de l’analyse pure ont été suscités par des problèmes posés par la nature.
III. Les premiers faits de la géométrie forment un tout assez compact pour que l’abstraction ne puisse qu’incomplètement les isoler les uns des autres ; par exemple, la notion du déplacement d’un ensemble invariable, qui au point de vue analytique est relativement complexe, sert en réalité de support aux faits les plus simples de la géométrie, même à la définition de la ligne droite, comme on le verra tout à l’heure.
Rappelons d’abord les premiers termes de la nomenclature géométrique :
Surface : Ce qui sépare le volume d’un corps de l’espace environnant.
Ligne : Ce qui limite une surface.
Point : Ce qui limite une ligne.
Remarquons-le bien, ces définitions ne ressemblent en rien à celles de l’analyse, où l’esprit crée lui-même l’objet de son étude. En effet, dans les définitions précédentes, les ce qui n’ont guère qu’une valeur verbale, ils ne sont destinés qu’a rappeler des groupes d’expériences ; ils les rappellent, mais ne les expliquent point. Les êtres géométriques, qui dans l’ordre précédent apparaissent comme les bornes les uns des autres, peuvent aussi se lier dans l’ordre inverse, au moyen d’une notion analogue à celle du mouvement.
Tout ensemble de points qu’on peut rattacher à la variation d’une seule quantité variable forme une ligne (élément à une dimension).
Tout ensemble de points qu’on peut rattacher aux variations de
