pour tout déplacement élémentaire de la demi-droite mobile, l’un des angles croît de la quantité dont l’autre décroît en vertu de la définition même de la grandeur d’un angle. Dès lors, quand cette demi-droite, d’abord en coïncidence avec l’une des moitiés de l’autre, exécute un mouvement qui l’amène en coïncidence avec la seconde moitié, on a deux grandeurs dont la somme est constante et dont l’une, partant de zéro, arrive par une variation continue à une valeur égale à la somme constante, tandis que l’autre subit une variation inverse : l’arithmétique, science analytique, montre qu’il existe une valeur et une seule de la variable indépendante à laquelle corresponde une valeur égale de l’autre variable. Si l’on repousse ce raisonnement, il faut demander également qu’on admette que si un point parcourt un segment de droite, il existe une position où il le divise en deux parties égaies.
Pour démontrer la seconde proposition, je considère la droite complétée et l’une des moitiés de l’autre ; par suite de la propriété du plan d’être une surface identique à elle-même, la figure ainsi formée peut être considérée comme résultant du déplacement, sans déformation, de la figure primitive, et dès lors l’un des nouveaux angles est égal à l’un des anciens, c’est-à-dire aux deux. Le même raisonnement s’applique évidemment à l’autre angle nouvellement formé. On remarquera que cette dernière démonstration n’est qu’un cas particulier de celle de l’égalité des angles opposés par le sommet. Nous croyons être fondé, en vertu de ces démonstrations classiques, à ranger le prétendu postulat de perpendicularité au nombre des théorèmes proprement dits.
Nous nous heurtons maintenant à unequestion singulièrement délicate, celle des diverses notions de la ligne droite. Sans nous attacher à la définition d’Euclide[1] qui, quoi qu’en dise M. Renouvier, n’est pas des plus claires, nous le voyons en donner trois : la ligne de direction constante (avec la variante physique et platonicienne de la ligne dont les extrémités sont ombragées par les points intermédiaires), la ligne la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités et la ligne qui peut tourner sur ses extrémités sans changer de place. Cette dernière définition est à peu près celle que nous avons adoptée ; la seconde énonce une propriété démontrable, nous allons le voir, en partant de la précédente ; quant à la première, nous ne saurions la regarder comme distincte des deux autres, car nous ne savons comment définir la direction sans introduire la notion de ligne droite ou celle de plus courte distance. Reste donc à prouver,
- ↑ La ligne qui est également placée entre ses points.
