Nous pouvons clore ici l’exposé des principes de la dynamique générale : il suffira d’observer que la statique peut se déduire de la dynamique comme cas particulier (lorsque les mouvements sont nuls) ; qu’inversement, par l’emploi d’un théorème dû à d’Alembert, toute question de dynamique peut être ramenée à une question de statique ; enfin que Lagrange a tenté, vers la fin du siècle dernier, une révolution aussi importante que celle qu’il a essayée pour le calcul infinitésimal ; il a, pour ainsi dire, fait découler analytiquement toute la mécanique d’un principe unique, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles, démontré directement à l’aide de postulats spéciaux. On est à peu près généralement d’accord aujourd’hui pour reconnaître qu’une démonstration rigoureuse de ce principe est impossible sans certaines restrictions, ou au moins qu’il y a la plus grande difficulté à en formuler l’énoncé d’une façon absolument satisfaisante. La question reste donc ouverte ; mais, vu la manière dont elle est actuellement engagée, elle est uniquement du ressort des mathématiciens, et les remarques de M. Schmitz-Dumont, qui s’attache plutôt à la méthode d’exposition de Lagrange, ne nous paraissent pas de nature à hâter la solution.
V
Le théorème incontestablement le plus important, au point de vue de l’étude de la notion de force, est celui des forces vives, puisque c’est le seul où figurent les forces intérieures d’un système, éliminées dans les trois autres. On lui a donné récemment une autre forme qu’il convient d’examiner.
Supposons que les forces intérieures, agissant à distance entre les points matériels, soient uniquement fonction de la distance de ces points. Le travail des forces, à partir d’un état initial donné, sera dès lors déterminé à un moment quelconque par la position des divers points du système, et par suite la force vive du système le sera également. D’ailleurs, si le travail des forces est positif, la force vive augmente ; mais le travail ne pourra être constamment positif ; la force vive aura donc un maximum correspondant à un état déterminé du système.
Désignons par la valeur de ce maximum, et supposons qu’on prenne pour origine des temps le moment correspondant. La somme des travaux des forces, comptée à partir de cette origine, sera nécessairement nulle ou négative. Désignons par le double
