Page:Revue philosophique de la France et de l'étranger, VII.djvu/131

125

tannery. — la théorie de la connaissance

toutes les propriétés de l’addition. Dans ce cas, à la vérité, on ne peut plus additionner, purement et simplement, les quantités qui mesurent les mouvements, parce que les valeurs de ces quantités ne suffisent plus pour représenter les objets que l’on combine, et qu’il faut tenir compte des directions. Or on parvient facilement à symboliser celles-ci au moyen des imaginaires. À cet effet, on prendra deux axes rectangulaires, et on conviendra de représenter les mouvements à partir de l’origine, suivant l’axe des $x$, par l’abscisse $x$, suivant l’axe des $y$, par le produit de l’ordonnée $y$ par l’unité imaginaire ${\sqrt {-1}}$. Grâce à cette convention, on pourra représenter, suivant une direction quelconque, par $x+y{\sqrt {-1}}$ le mouvement depuis l’origine jusqu’au point de coordonnées $x,y$, et dès lors toutes les règles de l’addition seront applicables. Mais, avant même cette représentation, on pouvait dire que les mouvements de translation se combinent par une véritable addition, et regarder, de ce point de vue, le côté ${\rm {AB}}$ d’un triangle ${\rm {ABC}}$ comme la somme des deux côtés ${\rm {AC,CB,}}$ somme dans laquelle on tient compte non-seulement de la longueur des droites que l’on ajoute, mais encore de leur direction dans le plan et du sens suivant lequel on les suppose parcourues.

Si, au contraire, on veut combiner ensemble une translation et une rotation, ou deux rotations autour de deux points différents, on trouve que l’opération, tout en conservant toutes les autres propriétés de l’addition, perd le caractère de la commutativité, parce qu’alors l’ordre dans lequel on effectue deux mouvements successifs influe sur la position finale. C’est donc une addition qui n’est plus commutative et qui, par suite, est soumise à des règles spéciales. Il y a lieu de considérer de telles additions, comme aussi des multiplications non commutatives, dans le calcul des quaternions, récemment inventé pour étendre à l’espace à trois dimensions, grâce à l’emploi d’unités imaginaires spéciales, la représentation des droites en grandeur et en direction au moyen de quantités complexes.

Dans l’exposé fait ici même^[1], par M. Liard, de la logique de Boole, nos lecteurs ont pu voir, se rapportant à un ordre d’idées tout différent, des règles d’un autre calcul spécial, analogues en partie à celles de l’algèbre ordinaire, en partie s’en écartant singulièrement. Les divergences tiennent dans ce cas à ce que l’opération qui y est assimilée à la multiplication, c’est-à-dire la qualification, n’est pas complètement uniforme, comme l’est la multiplication ordinaire. On y admet en effet : $xx=1x=x$, quel que soit $x$.

1. Revue philosophique, t. iv, p. 285.