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réalité, dans la nature, des objets égaux entre eux ? À cet égard, l’algébriste ne sait et n’a besoin de rien savoir. La possibilité de l’égalité n’est en somme qu’une hypothèse en vue de laquelle il établit ses déductions. Restera, dans les applications pratiques, qui ne le regardent pas, à vérifier que cette hypothèse n’entraîne pas d’erreur appréciable.

Si l’on en vient à l’addition, on peut la définir comme suit : une opération uniforme telle que, si l’on convient de la représenter par le signe +, les égalités suivantes soient vérifiées :

1^o $a=a'$ si $a+b=a'+b$ : uniformité complète ;

2^o $a+(b+c)=(a+b)+c$ : propriété associative ;

3^o $a+b=b+a$ : propriété commutative ;

4^o $a+0=a$ : le module est zéro ;

ou en d’autres termes : 1^o que l’opération réciproque soit également uniforme^[1] ; 2^o que le résultat soit le même, que l’on ajoute une somme de deux termes ou successivement ces deux termes ; 3^o que l’ordre des termes additionnés soit indifférent ; 4^o que l’addition d’un objet nul ne change pas le premier objet.

On peut remarquer que la multiplication jouit des trois premières propriétés, tandis que la quatrième doit être remplacée par les deux conditions :

$a\times 0=0$$a\times 1=a.$

Entendus de la sorte, les concepts des opérations arithmétiques sont réellement élargis et s’étendent, tout en restant parfaitement précis, à des objets quelconques de la pensée, et non-seulement aux seules quantités, dont on ne peut guère sortir en suivant la même marche que M. Schmitz-Dumont, quels que soient ses efforts pour prouver le contraire.

Nous allons donner un exemple de cette extension.

Dans le langage ordinaire, on dit que deux mouvements successifs s’ajoutent pour former un mouvement total. Examinons s’il y a là une véritable addition, et, pour plus de simplicité, bornons-nous à considérer les mouvements dans un plan.

S’il s’agit de translations suivant une même direction, comme d’ailleurs les mouvements se mesurent suivant les longueurs d’une même droite, il n’y a aucune difficulté pour adopter, dans la science, le langage vulgaire. Il en est de même, s’il s’agit de rotations autour d’un même point du plan.

Mais, s’il s’agit de translations suivant des directions différentes, on trouve également que la combinaison des mouvements jouit de

1. Voir la note précédente.