nul. C’est elle aussi, qui, dans certains problèmes, amène en résultat des nombres négatifs. Les nombres négatifs sont des différences qui ne sont pas des nombres. Ils tirent leur origine d’une combinaison arbitraire, mais fondée sur une généralisation légitime, de symboles connus. Quel est, en effet, le but de la soustraction ? c’est, étant données une somme et l’une de ses parties, de trouver l’autre partie. Si la somme donnée est trop petite et la partie trop grande, l’on aboutit à un non-sens ; mais du moins le résultat nous avertit que c’est un non-sens. On verra tantôt, à propos de la discussion, comment on doit interpréter ces résultats absurdes ; en attendant, ils nous révèlent un nouvel aspect des choses : c’est que la différence entres et 5 n’est pas la même que celle entre 5 et 3 ; ce n’est pas la même chose que j’aie deux francs de moins que mon camarade, ou que mon camarade ait deux francs de moins que moi[1]. Quand on fait une addition, on peut intervertir les termes, et écrire indifféremment 7 + 5 ou 5 + 7 ; il n’en est pas de même quand on fait une soustraction, on ne peut prendre la somme pour la partie.
Si les nombres à ajouter sont égaux, on convient de simplifier la notation, et, au lieu de 3 + 3 + 3, d’écrire 3 X 4. On remarque en effet que la somme 3 + 3 + 3 + 3 a la même forme que la somme 1 + 1 + 1 + 1 qu’on représente par 4. En écrivant 3 x 4, on indique donc une espèce de nombre dont l’unité est 3, et ce nombre est dit le produit de 3 par 4.
Comme on le voit, l’idée de la multiplication a une origine naturelle, et elle surgit nécessairement dans l’esprit à un certain moment de son développement scientifique. Ce n’est donc pas une opération librement imaginée. Les seules choses arbitraires qu’il y ait en elle sont le signe et la disposition des facteurs. De plus, quant à cette disposition même, on ne tarde pas à s’assurer qu’ils peuvent prendre la place l’un de l’autre et que 3 x 4 = 4 x 3.
La multiplication est une opération par laquelle on compose un nombre au moyen de deux autres en donnant à l’unité du premier la valeur numérique du second.
La définition ordinaire que l’on donne de cette opération est fautive : il en résulte, en effet, que l’addition de 3 + 3 + 3 + 3 serait une multiplication[2].
- ↑ Dans une note insérée aux Bulletins de l’Académie de Belgique (1876) M. Folie fait remarquer, à propos de la transformation des coordonnées, que l’angle de l’axe des X avec celui des Y, n’est pas le même que celui de l’axe des Y avec l’axe des X.
- ↑ On connaît cette définition : La multiplication est une opération par laquelle, étant donnés deux nombres, on en forme un troisième en opérant sur le premier comme on a opéré sur l’unité pour avoir le second. Pour qu’il en
