fois ce rayon. Par exemple, soit un cercle de 50 centimètres de rayon, à combien de centimètres et de fractions de centimètre exactement est égal le côté d’un carré égal en surface à ce cercle ?
Il est très facile de montrer que la surface d’un cercle, — son aire comme disent les géomètres, — est égale à celle d’un triangle rectangle dont un des côtés est égal au rayon de ce cercle et l’autre à la longueur de sa circonférence. Mes lecteurs voudront bien me croire sur parole, même si je ne leur démontre pas ici cette proposition dont la première démonstration connue se trouve dans le célèbre Traité de la dimension du cercle d’Archimède.
Bref, il résulte de ce qui précède que, si on sait construire le triangle rectangle équivalent à un cercle de rayon donné, la quadrature du cercle est résolue. Or on connaît très bien l’un des côtés de ce triangle, puisque c’est précisément le rayon donné. L’autre côté est la longueur de la circonférence de ce cercle.
Finalement, tout le problème se ramène donc à savoir tracer une ligne droite exactement égale à la circonférence d’un cercle de rayon donné. Le problème de la quadrature du cercle est ainsi ramené à celui de la rectification de la circonférence, c’est-à-dire à la question classique : quelle est exactement la longueur d’une circonférence dont le rayon est connu ? Tout cela est élémentaire et pose nettement la question qui est en définitive celle-ci : quel est exactement le rapport de la circonférence à son rayon (ou à son diamètre qui est le double du rayon) ?
On trouve déjà que dans la Bible (Livre des Rois, chap. VII, vers. 23) la longueur de la circonférence est indiquée comme égale à trois fois son diamètre. Cette valeur est à peu près exacte, mais à peu près seulement. Si elle était rigoureusement exacte, le problème de la quadrature du cercle serait immédiatement résolu. On construirait un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit seraient respectivement égaux à une fois et trois fois le rayon d’un cercle donné, et le triangle obtenu aurait la même aire que ce cercle. Ce ne serait plus qu’un jeu ensuite de construire un carré de surface égale à ce triangle.
Malheureusement, — ou plutôt heureusement, puisque les problèmes difficiles sont les plus intéressants, — le rapport de la circonférence à son diamètre n’est qu’à peu près égal à 3, et, lorsqu’on veut le calculer à une faible fraction près, il arrive qu’on se rapproche autant qu’on veut de la valeur exacte, mais sans l’atteindre jamais.
