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H. POINCARÉ. — nature du raisonnement mathématique.

ou

$a+(\beta +1)=\beta +(a+1)$

$a+(\beta +1)=\beta +(1+a)$

$a+(\beta +1)=(\beta +1)+a$

C. Q. F. D.

La proposition est donc établie par récurrence.

Définition de la Multiplication.

Nous définirons la multiplication par les égalités

$a\times 1=a$

(2)$a\times b=[a\times (b-1)]+a$

L’égalité (2) renferme comme l’égalité (1) une infinité de définitions ; ayant défini $a\times 1$, elle permet de définir successivement : $a\times 2$, $a\times 3$, etc.

Propriétés de la Multiplication.

Distributivité.

Je dis que

$(a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)$.

L’égalité est vraie pour $c=1$ ; car alors elle se réduit à

$(a+b)\times 1=(a\times 1)+(b\times 1)$.

ou, en vertu de la définition que je viens de donner, à :

$(a+b)=(a+b)$.

Je dis que si le théorème est vrai pour $c=\gamma$, il sera vrai pour $c=\gamma +1$. Soit en effet :

$(a+b)\times \gamma =(a\times \gamma )+(b\times \gamma )$.

il viendra :

$[(a+b)\times \gamma ]+(a+b)=(a\times \gamma )+(b\times \gamma )+(a+b)$.

En vertu de la définition de la multiplication le premier membre n’est autre chose que :

$(a+b)\times (\gamma +1)$,

et en vertu des propriétés de l’addition, le second membre peut s’écrire :

$[(a\times \gamma )+a]+[(b\times \gamma )+b]$