d’autres raisons, et à laquelle, à ma connaissance, il n’y a pas d’objection sérieuse. »
Je n’ai rien compris à la démonstration modifiée, qui est exposée d’une façon trop succincte ; je n’ai même pas compris l’énoncé de l’assomption. Je puis toutefois observer ceci : Cette assomption est un nouvel axiome, et pour qu’il y ait intérêt à le substituer au principe d’induction qu’il s’agit de démontrer, il faut qu’il soit plus directement évident que ce principe ; or, est-ce le cas si cet axiome s’énonce :
« Tout énoncé contenant et une variable apparente est équivalent pour toutes les valeurs de , à quelque énoncé ne contenant aucune variable apparente. »
Mais je vous vois venir, vous allez me dire : « Vous aurez toujours besoin de mon assomption, même si vous admettez le principe d’induction ; elle seule préservera ce principe du cercle vicieux. »
Non, permettez, c’est la définition qui contient un cercle vicieux, la proposition en est exempte, si je la regarde comme un axiome indémontrable, et je puis en faire usage sans difficulté.
Quant au rôle de la croyance à l’infini actuel, je continue à le regarder comme très important. M. Russell cite des exemples de paradoxes où n’interviennent que des nombres finis ; l’un d’eux est nouveau et très amusant. Mais dans le cas des classes finies, il est toujours possible de s’en débarrasser, parce qu’on peut faire l’analyse des diverses classes qui figurent dans les propositions en poussant cette analyse jusqu’aux individus et cette analyse complète fera évanouir les contradictions. Si j’ai bien compris la théorie pas de classes, elle consiste précisément à proclamer la nécessité de cette analyse complète.
Mais dans les cas où l’on fait intervenir l’infini actuel, cette analyse complète est impossible, du moins à ce qu’il me semble, et l’on reste exposé à la contradiction.
Un mot pour terminer ; je n’ai pas dit qu’il ne serait pas utile d’avoir des notions plus claires en logique, mais que ces notions ne résoudraient pas la question de l’axiome de Zermelo.
Je me bornerai pour le moment à ces remarques sommaires, me réservant de les justifier dans un article plus étendu qui paraîtra quand M. Russell et M. Zermelo auront publié leurs théories avec assez de détails pour qu’on puisse les discuter avec fruit.
