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revue de métaphysique et de morale.

Les applications possibles du principe d’induction sont innombrables ; prenons pour exemple l’une de celles que nous avons exposées plus haut, et où on cherche à établir qu’un ensemble d’axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour cela on considère l’une des séries de syllogismes que l’on peut poursuivre en partant de ces axiomes comme prémisses.

Quand on a fini le $n^{e}$ syllogisme, on voit qu’on peut en faire encore un autre et c’est le $n+1^{e}$ ; ainsi le nombre $n$ sert à compter une série d’opérations successives, c’est un nombre qui peut être obtenu par additions successives. Ainsi donc la façon dont nous avons été amenés à considérer ce nombre $n$ implique une définition du nombre entier et cette définition est la suivante : un nombre entier est celui qui peut être obtenu par additions successives, c’est celui que l’on peut définir par récurrence.

Cela posé, qu’est-ce que nous faisons ? Nous montrons que s’il n’y a pas eu de contradiction au $n^{e}$ syllogisme, il n’y en aura pas davantage au $n+1^{e}$ et nous concluons qu’il n’y en aura jamais. Vous dites : j’ai le droit de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence ; dans l’espèce c’est celui dont on peut dire que, si l’absence de contradiction au moment d’un syllogisme dont le numéro est un nombre entier entraîne l’absence de contradiction au moment d’un syllogisme dont le numéro est l’entier suivant, on n’aura à craindre aucune contradiction pour aucun des syllogismes dont le numéro est entier.

Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d’un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l’une à l’autre par des procédés purement logiques. Par conséquent nous n’avons pas le droit d’adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.

Au contraire qu’arrive-t-il pour la ligne droite ? Je l’ai déjà expliqué si souvent que j’hésite à me répéter une fois de plus : je me borne à résumer brièvement ma pensée.

Nous n’avons pas deux définitions équivalentes sans être, ou identiques, ou réductibles logiquement l’une à l’autre. Tout ce qu’on pourrait dire, c’est que nous avons l’intuition de la ligne droite, sans