puyant sur l’Analyse et par elle sur l’Arithmétique, et par elle sur le principe d’induction.
Et si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s’appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu’elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini.
Notre conclusion, c’est d’abord que le principe d’induction ne peut pas être regardé comme la définition déguisée du nombre entier.
Voici trois vérités :
Le principe d’induction complète ;
Le postulatum d’Euclide ;
La loi physique d’après laquelle le phosphore fond à 44° (citée par M. Le Roy).
On dit : Ce sont trois définitions déguisées, la première, celle du nombre entier, la seconde, celle de la ligne droite, la troisième, celle du phosphore.
Je l’admets pour la seconde, je ne l’admets pas pour les deux autres, il faut que j’explique la raison de cette apparente inconséquence.
D’abord nous avons vu qu’une définition n’est acceptable que s’il est établi qu’elle n’implique pas contradiction. Nous avons montré également que, pour la première définition, cette démonstration est impossible ; au contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait donné une démonstration complète.
En ce qui concerne la troisième, il est clair qu’elle n’implique pas contradiction ; mais cela veut-il dire que cette définition garantit, comme il le faudrait, l’existence de l’objet défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence n’a plus le même sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il signifie existence objective.
Et voilà déjà une première raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois notions, se présentent-elles à nous comme définies par ces trois postulats ?
