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H. POINCARÉ. — LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE.

Ce point établi, on voit que $\mathrm {Q} _{0}+\mathrm {A}$, ou

$\mathrm {Q} _{0}+[\mathrm {A} _{1}-\phi (\mathrm {R} )]+\phi (\mathrm {R} )=[\mathrm {A} _{1}-\phi (\mathrm {R} )]+\mathrm {R}$

est équivalent à

$[\mathrm {A} _{1}-\phi (\mathrm {R} ]+\phi (\mathrm {R} )=\mathrm {A} _{1}$

puisque $\phi (\mathrm {R} )$ est équivalent à $\mathrm {R}$ ; et enfin à $\mathrm {A} _{0}$ puisque $\mathrm {A} _{1}$, est équivalent $\mathrm {A} _{0}$.

Le défaut est encore le même ; $\mathrm {R}$ est la partie commune à tous les ensembles $\mathrm {B}$ ; sous peine de cercle vicieux, cela doit vouloir dire à tous les ensembles $\mathrm {B}$ dans la définition desquels n’entre pas la notion de $\mathrm {R}$. Cela exclut l’ensemble $\mathrm {Q} _{0}+\phi (\mathrm {R} )$ qui dépend de $\mathrm {Q}$. La définition de l’ensemble $\mathrm {R}$ n’est donc pas prédicative.

Et maintenant on pourrait encore déduire le théorème de Bernstein du théorème célèbre de Zermelo ; mais nous nous heurtons toujours au même obstacle.

Que fait M. Zermelo ? Il considère un ensemble $\mathrm {E}$ et les sous-ensembles qui y sont contenus. Il choisit au hasard dans chacun de ces sous-ensembles un élément qu’il appelle l’élément distingué de ce sous-ensemble. Cela est possible si on admet « l’axiome de Zermelo » cité plus haut. Il définit ensuite ce qu’il appelle les $\mathrm {M} _{\gamma }$. Il appelle $\Gamma$ la somme logique de tous les $\mathrm {M} _{\gamma }$, de telle façon que tout élément faisant partie d’un $\mathrm {M} _{\gamma }$ fasse partie de $\Gamma$. Il s’agit de montrer que $\Gamma$ n’est autre chose que l’ensemble total $\mathrm {E}$. Car s’il n’en était pas ainsi, l’ensemble $\mathrm {E} -\Gamma$ contiendrait un élément distingué $\mathrm {A}$ ; l’ensemble $\Gamma +\mathrm {A}$ serait un $\mathrm {M} _{\gamma }$, de telle sorte que $\mathrm {A}$ ferait partie d’un $\mathrm {M} _{\gamma }$ sans faire partie de $\mathrm {M} _{\gamma }$, ce qui est contraire à l’hypothèse.

C’est toujours la même chose ; la définition de $\Gamma$ n’est pas prédicative. La somme logique de tous les $\mathrm {M} _{\gamma }$, cela doit vouloir dire la somme logique de tous les $\mathrm {M} _{\gamma }$ dans la définition desquels ne figure pas la notion de $\Gamma$ ; et alors le $\mathrm {M} _{\gamma }$, formé par $\Gamma$ et l’élément distingué de $\mathrm {E} -\Gamma$ doit être exclu. Aussi, quoique je sois plutôt disposé à admettre l’axiome de Zermelo, je rejette sa démonstration, qui m’avait fait croire un instant qu’aleph-un pourrait bien exister.

XV. — Conclusions.

Une démonstration vraiment fondée sur les principes de la Logique Analytique se composera d’une suite de propositions ; les