et ainsi de suite ; on aura
quand l’indice sera un nombre inductif quelconque.
Soit alors l’ensemble de tous les éléments qui appartiennent à tous les dont l’indice est un nombre inductif. On démontre sans difficulté que
Je dis maintenant que
(1) }}
c’est-à-dire que tout élément de qui n’appartient à aucun des ou à aucun des dont l’indice est un nombre inductif, doit appartenir à tous les d’indice inductif et par conséquent à .
Et en effet la classe formée par les auxquels appartient un élément qui ne fait partie d’aucun des dont l’indice est un nombre inductif est une classe récurrente.
Il est clair que l’égalité (1) entraîne la proposition énoncée ; mais comme dans la définition de la classe figure la notion de nombre inductif nous retrouvons le même vice de démonstration signalé au § XI. Qu’est-ce à dire ? La démonstration du théorème de Bernstein reste légitime, mais à la condition que l’on y regarde le principe d’induction comme un jugement synthétique et non pas comme une définition, parce que cette définition serait « non prédicative. »
M. Zermelo m’adresse une autre démonstration du théorème de Bernstein. Considérons tous les ensembles qui contiennent et qui contiennent leur propre image . Soit l’ensemble formé par les éléments communs à tous les ensembles ; on voit que l’image de , c’est-à-dire sera formée des éléments communs à tous les ; ces éléments font partie de tous les , et par conséquent de , d’où il suit que qui contient d’ailleurs , contient également .
On montre ensuite que
car s’il en était autrement serait un ensemble , qui ne contiendrait pas , puisqu’il n’en serait au contraire qu’une partie.
