ad absurdum. It may, also, of course, be capable of proof, but that is far less probable. »
Ainsi M. Russell espère encore qu’on pourra démontrer déductivement, en partant des autres postulats, que l’axiome de Zermelo est faux, ou bien qu’il est vrai. Inutile de dire combien cet espoir me paraît illusoire. Ce ne sont pas de « clearer notions in logic » qui nous tireront d’embarras ; ce ne sera pas non plus « the technical advance of mathemalics ». Les axiomes en question ne seront jamais que des propositions que les uns admettront, comme « self-evident » et dont les autres douteront. Chacun n’en croira que son intuition. Il y a toutefois un point sur lequel tout le monde sera d’accord. L’axiome est « self-evident » pour les classes finies ; mais s’il est indémontrable pour les classes infinies, il l’est sans doute aussi pour les classes finies, qu’on n’en a pas encore distinguées à ce stade de la théorie ; c’est donc un jugement synthétique a priori sans lequel la « théorie cardinale » serait impossible, aussi bien pour les nombres finis que pour les nombres infinis.
Je reviendrai sur ce théorème, non pour répondre à M. Couturat, mais pour éclaircir quelques points à la lumière des considérations qui précèdent. Ce théorème peut s’énoncer de la façon suivante :
Si un ensemble peut se décomposer en trois parties , et , de telle sorte que
et si , est équivalent à de telle sorte que
sera équivalent à .
En effet si est équivalent à , c’est qu’à chaque élément de correspond un élément de , que l’on peut appeler son image. Si est un ensemble contenu dans , les images des éléments de formeront un ensemble que nous pourrons appeler l’image de et que nous désignerons par . On a donc . Posons alors :
