nous devons entendre : à toutes les classes récurrentes dans la définition desquelles n’intervient pas déjà la notion de nombre inductif.
Or la classe définie plus haut ne satisfait pas à cette condition. Dans sa définition figure la notion du nombre inductif. C’est la classe des nombres tels que étant un nombre non inductif donné, ne soit pas inductif. Le mot inductif est répété deux fois ; passe pour la première, puisqu’il s’agit d’un nombre non inductif donné ; mais, pour la seconde fois, nous ne pouvons admettre aucune excuse.
Autre exemple. Nous voulons démontrer que la somme de deux nombres inductifs est un nombre inductif. En effet, dirons-nous, la classe des nombres qui ajoutés à un nombre inductif donné donnent un nombre inductif est évidemment récurrente. Cela ne vaut rien ; la classe est récurrente, c’est vrai, mais dans sa définition figure le mot inductif.
Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux ; c’est le même qui a conduit aux antinomies ; il était illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai.
Une définition qui contient un cercle vicieux ne définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition, qu’il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres inductifs ; il ne s’agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si on peut rigoureusement la délimiter. Une classe « non prédicative » ce n’est pas une classe vide, c’est une classe dont la frontière est indécise.
Inutile d’ajouter que cette objection particulière laisse subsister les objections générales qui s’appliquent à toutes les démonstrations.
M. Burali-Forti a donné une autre démonstration dans son article Le Classi finite (Atti di Torino, t. XXXII). Mais il est obligé d’admettre deux postulats :
Le premier, c’est qu’il existe toujours au moins une classe infinie.
Le second s’énonce ainsi :
