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H. POINCARÉ. — LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE.

qu’on en pourra sauver : « I hope in future to work out this theory to the point where it will appear exaclly how much of mathematics it preserves, and how much it forces us to abandon. Inutile d’ajouter que le Cantorisme el la Logistique sont seuls en cause ; les vraies mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront continuer à se développer d’après leurs principes propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors d’elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes accoutumées qui sont définitives et qu’elles n’ont jamais à abandonner.

IX. — La vraie Solution.

Quel choix devons-nous l’aire entre ces différentes théories ? Il me semble que la solution est contenue dans une lettre de M. Richard dont j’ai parlé plus haut et qu’on trouvera dans la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905. Après avoir exposé l’antinomie que nous avons appelée l’antinomie Richard, il en donne l’explication.

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au § VII ; $\mathrm {E}$ est l’ensemble de tous les nombres que l’on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de l’ensemble $\mathrm {E}$ lui-même. Sans quoi la définition de $\mathrm {E}$ contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir $\mathrm {E}$ par l’ensemble $\mathrm {E}$ lui-même.

Or nous avons défini $\mathrm {N}$, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l’ensemble $\mathrm {E}$. Et voilà pourquoi $\mathrm {N}$ ne fait pas partie de $\mathrm {E}$.

Dans l’exemple choisi par M. Richard, la conclusion se présente avec une entière évidence et l’évidence paraîtra encore plus grande quand ou se reportera au texte même de sa lettre. Mais la même explication vaut pour les autres antinomies et en particulier pour celle de Burali-Forti. On y introduit l’ensemble $\mathrm {E}$ de tous les nombres ordinaux ; cela veut dire de tous les nombres ordinaux que l’on peut définir sans introduire la notion de l’ensemble $\mathrm {E}$ lui-même ; le nombre ordinal qui correspond au type d’ordre défini par cet ensemble $\mathrm {E}$ se trouve donc exclu.

Ainsi les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un cercle vicieux. Et les exemples qui précèdent montrent suffisamment ce que j’entends par là. Est-ce là