que l’autre. Burali-Forti démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.
À la suite de mon article, M. Burali-Forti a écrit à M. Couturat. Il n’y a pas contradiction, prétend-il, parce que le résultat de M. Cantor s’applique aux ensembles bien ordonnés, et le mien aux ensembles parfaitement ordonnés.
La lettre de M. Burali-Forti est citée par M. Couturat à la page 229 de son dernier article ; mais elle a été dénaturée au point de devenir absurde. Est-ce lui-même qui a commis une inadvertance, est-ce M. Couturat qui a mal traduit, est-ce la faute de l’imprimeur ? Je n’en sais rien. Heureusement le texte est facile à rétablir, il suffit de retourner toutes les phrases.
On lui fait dire : une classe parfaitement ordonnée est aussi une classe bien ordonnée, mais la réciproque n’est pas vraie, et il a certainement voulu dire : une classe bien ordonnée est aussi une classe parfaitement ordonnée, mais la réciproque n’est pas vraie. Et en effet si on se reporte au texte cité on lit : Ogni classe ben ordinata è anche perfettamente ordinata, ma non vice-versa.
Même après cette rectification son explication n’est pas salisfaisante. Les raisonnements de M. Burali-Forti s’appliquent aisément en effet aux ensembles bien ordonnés et aux nombres ordinaux de Cantor et en particulier, il est facile de démontrer que la suite de tous les nombres ordinaux de Cantor forme un ensemble bien ordonné.
Nous reviendrons plus loin sur l’antinomie Zermelo-König qui est d’une nature un peu différente ; voici ce que c’est que l’antinomie Richard. (Revue générale des Sciences, 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux qu’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots ; ces nombres décimaux forment un ensemble , et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c’est-à-dire qu’on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu’à l’infini. Supposons le numérotage effectué, et définissons un nombre de la façon suivante. Si la décimale du nombre de l’ensemble est
