Que signifiait alors « un nombre entier est celui qui peut être défini par récurrence ? » Cela voulait dire : un nombre entier est celui qui peut être obtenu par additions successives ; ou si vous aimez mieux : un nombre entier est celui d’où l’on peut revenir à zéro par soustractions successives. Et alors vous me demandez « combien de soustractions » : je vous répondrai « n’importe combien ». Si nous prenons un nombre infini quelconque, par exemple aleph-zéro, nous ne pourrons revenir à zéro ni par un nombre fini, ni par un nombre infini de soustractions, puisque aleph-zéro moins un est égal à aleph-zéro.
Je ne peux pas écrire cela en péanien, puisque je ne parle pas cette langue avec assez de sûreté, mais je peux le mettre en formules que vous pourrez facilement traduire en péanien.
Un nombre entier est un nombre cardinal ; zéro est un nombre entier — tout nombre entier a un suivant qui diffère de lui et qui est aussi un entier — tout nombre entier, zéro excepté, a un précédant qui diffère de lui et qui est un entier.
Il y aurait peut-être avantage à modifier cette définition ; mais c’était celle que j’avais en vue quand je disais définir par récurrence ; ce qui m’importe c’est qu’elle n’implique pas analytiquement le principe d’induction (Voir plus bas § X).
Je vais maintenant aborder l’examen de l’important mémoire de M. Russell. Ce mémoire a été écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de fréquentes allusions. Cantor avait cru pouvoir constituer une Science de l’Infini ; d’autres se sont avancés dans la voie qu’il avait ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d’étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :
1o L’antinomie Burali-Forti ;
2o L’antimonie Zermelo-König ;
3o L’antinomie Richard.
Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s’agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c’est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit
