Pour que nous ayons le droit de poser un système de postulats, il faut que nous soyons assurés qu’ils ne sont pas contradictoires. C’est là une vérité qui est admise par la plupart des savants, j’aurais écrit par tous avant d’avoir lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle ? Veut-elle dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction après un nombre fini de propositions, le nombre fini étant par déiinition celui qui jouit de toutes les propriétés de nature récurrente, de telle façon que si une de ces propriétés faisait défaut, si par exemple nous tombions sur une contradiction, nous conviendrions de dire que le nombre en question n’est pas fini ?
En d’autres termes, voulons-nous dire : Il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction à la condition de convenir de nous arrêter juste au moment où nous serions sur le point d’en rencontrer une ? Il suffit d’énoncer une pareille proposition pour la condamner.
Ainsi non seulement le raisonnement de M. Hilbert suppose le principe d’induction, mais il suppose que ce principe nous est donné, non comme une simple définition, mais comme un jugement synthétique à priori.
En résumé :
Une démonstration est nécessaire.
La seule démonstration possible est la démonstration par récurrence.
Elle n’est légitime que si on admet le principe d’induction, et si on le regarde non comme une définition, mais comme un jugement synthétique.
Est-ce la peine de revenir sur les deux dernières pages de M. Couturat ? Est-il nécessaire de dire que je n’ai pas donné deux énoncés incompatibles du principe d’induction, que le premier (celui de la page 815, 1er article) est seulement moins complet que celui de la page 32 (2e article), puisqu’on y parle des nombres entiers, sans les définir ? Que le second énoncé n’a nullement le sens grotesque que M. Couturat lui attribue, que je n’ai jamais voulu dire :
