ladite démonstration permet de conclure des axiomes (1), (2), (3), (4) à la proposition (6). Tout revient alors à montrer qu’une semblable démonstration implique contradiction et ne saurait par suite, selon nos conventions, être considérée comme existante. »
Tout cela est bien peu satisfaisant. Ainsi le mot plusieurs, au début du travail, n’avait pas le sens général qu’il comporte, il ne signifiait pas un « nombre fini » aussi grand que l’on veut, mais un « nombre limité », par exemple 4 ou 5. Mais alors que signifiaient les démonstrations. Elles pouvaient nous montrer qu’après 4 ou 5 syllogismes, les axiomes ne conduisaient pas à une contradiction. Mais ce n’était pas de cela qu’il s’agissait.
Il fallait montrer qu’on n’en rencontrerait pas davantage, quelque loin que l’on poursuive la chaîne des raisonnements ; c’est à ce prix seulement qu’il était permis d’affirmer que les axiomes ne sont pas contradictoires.
Et ce n’est pas tout, la démonstration fondamentale avait besoin d’être « complétée » et pour la compléter il fallait « s’appuyer sur la définition du nombre fini ». Or cette définition elle-même reposait sur celle du plus petit infini, et celle-ci à son tour sur la démonstration en litige. Mais cela s’appelle un cercle vicieux.
Et comment raccorder tout cela. C’est en regardant « la démonstration elle-même comme une notion mathématique », c’est-à-dire dans le langage de Hilbert comme un symbole qui n’est défini que par un certain nombre de relations avec d’autres symboles. Le mot démonstration perd son sens et n’est plus défini que par des postulats. Mais on n’échappe pas au dilemme :
Ou bien vous saviez d’avance ce que c’est qu’une démonstration, et comment une démonstration peut conduire à des contradictions, et alors vous n’aviez pas besoin de cette définition par postulats. Rien ne vous garantit d’ailleurs que cette démonstration, dont vous saviez d’avance ce que c’était, est bien la même chose que ce symbole vide, que vous convenez d’appeler démonstration, mais qui, par définition, n’est autre chose que ce qui satisfait à une certaine formule ;
Ou bien vous ne le saviez pas d’avance, et alors la question que vous vous posiez au début : « Une démonstration fondée sur ces axiomes peut-elle me conduire à des contradictions ? » était absolument dépourvue de sens. Et alors pourquoi vous la posiez-vous ? Il vous sera difficile de l’expliquer.
