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H. POINCARÉ. — LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE.

sont doués de qualités, tandis que, pour le savant allemand, ce ne sont que des combinaisons de symboles que l’on enrégimente arbitrairement.

Nous retrouvons toutefois dans Hilbert un souvenir de la logique de Russell : il introduit en effet une fonction propositionnelle $a(x)$, qui intervient dans la définition de l’ensemble $m$, de telle façon que $m$ soit l’ensemble des objets $x$ pour lesquels la proposition $a(x)$ est vraie. Mais nous devons nous rappeler que les propositions de Hilbert ne sont jamais que des combinaisons de symboles.

XXV

Je terminerai l’exposé de ce remarquable mémoire, si plein de vues originales et intéressantes, en disant quelques mots de ce que j’ai appelé plus haut la tentative de replâtrage. Ce n’est pas à un homme comme M. Hilbert que les difficultés signalées plus haut pouvaient échapper ; à la fin de son article, il est donc pris de scrupules et il cherche à se tirer d’affaire par quelques lignes que je crois devoir citer in extenso :

« Lorsque dans les pages précédentes il était question de plusieurs objets ou combinaisons, de plusieurs indéterminées, de combinaisons multiples, ces mots s’appliquaient toujours à un nombre limité de choses. Après avoir défini le « nombre fini » nous sommes eu état de leur donner le sens général qu’ils comportent. De même, en nous appuyant sur la définition du nombre fini, nous pourrons, conformément au principe de l’Induction complète, définir explicitement à l’aide d’une méthode récurrente ce qu’il faut entendre par « Proposition déduite quelconque » ou par « Proposition différant de toutes les propositions d’une certaine espèce ». En particulier nous pourrons compléter la démonstration donnée plus haut, laquelle tendait à prouver que la proposition

(6)  $f(ux^{0})=u1$

diffère de toute proposition qui se laisserait déduire des axiomes (1), (2), (3), (4) (cf. n^os XX et XXI) à l’aide d’un nombre fini d’opérations. À cet effet, nous regarderons la démonstration elle-même comme une notion mathématique : c’est un ensemble fini dont les éléments sont reliés par des propositions lesquelles affirment que