la théorie (cela, c’est l’application directe du principe d’induction) ; ou bien on procédera par l’absurde (ce qui entraînera en général une application indirecte de ce même principe).
Ainsi on envisage une série de raisonnements se succédant les uns aux autres et on applique à cette succession, regardée comme un type ordinal, un principe qui est vrai pour certains types ordinaux, appelés nombres ordinaux finis, et qui est vrai pour ces types, précisément parce que ces types sont par définition ceux pour lesquels il est vrai.
Mais qu’est-ce qui me prouve que le type ordinal, qui correspond à la succession de nos raisonnements, est précisément l’un des « nombres ordinaux finis » ainsi définis ? Est-ce que nous avons démontré que ce type répond à cette définition ? Non ; et, si nous l’avions fait, le principe d’induction ne serait plus un postulat servant de définition, ce serait un théorème comme les autres, susceptible de démonstration et tout ce détour deviendrait inutile.
Est-ce que cette succession n’a d’existence que par une convention arbitraire, auquel cas nous serions libres de choisir telle définition que nous voudrions ? En d’autres termes, est-ce que nous avons besoin, pour concevoir cette succession, de la définition du « nombre ordinal fini » ou du « plus petit infini » ?
Pas du tout, et la preuve c’est que M. Hilbert a déjà appliqué deux fois le principe d’induction longtemps avant d’avoir parlé ni du « nombre ordinal fini », ni du « plus petit infini ».
Il avait donc, dès ce moment, l’intuition directe de cette succession de raisonnements et du type ordinal correspondant ; tandis que ce qu’il définit ensuite n’est qu’une combinaison de symboles vides, dont nous savons seulement qu’ils doivent satisfaire à certaines conditions. De quel droit appliquerions-nous à cela ce qui est démontré pour ceci ?
Ainsi quand même on serait arrivé à justifier le principe d’induction, l’application qu’on en ferait demeurerait illégitime, parce que le principe qu’on appliquerait serait autre chose que celui qu’on aurait justifié. Les mêmes mots y auraient un autre sens.
M. Hilbert, pas plus que ses devanciers du reste, n’a pas mieux satisfait à la seconde condition, celle du no IV, qu’à la première, celle du no V.
