Est-ce là le début de la démonstration annoncée, on pourrait le croire ; l’auteur, pense-t-on, ayant défini le nombre ordinal fini, et montré que sa définition est exempte de contradiction, va démontrer que tout nombre ordinal fini a un suivant qui est aussi un nombre ordinal fini, et il s’élèvera ainsi jusqu’à la notion du type ordinal de l’ensemble des nombres entiers, c’est-à-dire du plus petit infini.
Mais pas du tout ; au contraire, M. Hilbert ajoute : « Après quoi nous pourrons prouver, en nous appuyant sur l’existence du plus petit infini, qu’étant donné un nombre ordinal fini quelconque, il existe un nombre ordinal qui lui est supérieur ».
Ainsi donc la notion du plus petit infini n’est pas déduite de celle du nombre ordinal fini, elle lui est au contraire antérieure ; et nous devons considérer cette phrase. « Nous constatons que ces axiomes (ceux de l’induction complète) peuvent être adjoints aux autres sans contradiction, ce qui établit l’existence du plus petit infini », nous devons, dis-je, considérer cette phrase et surtout ces deux mots : nous constatons, comme constituant toute la démonstration.
Eh bien, non, ce n’est pas encore cela ; car, à un stade antérieur de son raisonnement, M. Hilbert dit : « Pour donner une démonstration complète, il faudrait faire appel au concept de nombre ordinal fini… » Est-ce alors que ce dernier concept est antérieur à l’autre ? On ne sait à quoi s’arrêter.
Qu’est-ce à dire ? Au moment de démontrer que la définition du nombre entier pur l’axiome d’induction complète n’implique pas contradiction, M. Hilbert se dérobe, comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat, parce que la difficulté est trop grande.
Mais admettons même que le principe ait été justifié, s’ensuivrait-il qu’on aurait le droit d’en faire l’usage qu’on en fait ? Comme l’expose M. Hilbert, le processus est toujours le même ; pour introduire une proposition nouvelle, on cherche à montrer que cette introduction ne conduit pas à une contradiction. Dès que l’on a fait cette preuve, le nouvel axiome-est regardé comme légitime.
Mais comment faire cette preuve ? Il faut, d’après Hilbert, ou bien montrer que, s’il y avait contradiction à un moment donné, cette contradiction devrait déjà s’être manifestée à un stade antérieur de
