Ces axiomes ne sont autre chose que les axiomes 3, 4 et 2 de Peano (voir ci-dessus, no XVI). L’auteur fait bien de nous en avertir, car cela aurait pu échapper à quelques lecteurs. Ainsi l’axiome 5 est laisse du côté ; l’axiome 1 manquerait également, mais il doit être regardé comme sous-entendu, ou comme impliqué par la dernière de nos équations.
Quoi qu’il en suit, il faut justifier cette définition en montrant que ces équations ne peuvent conduire à une contradiction. Et pour cela, M. Hilbert entreprend de démontrer que les deux premières équations ne peuvent conduire qu’à des propositions homogènes, c’est-à-dire à des égalités dont les deux membres contiennent un même nombre de lettres ; et en effet, dit-il, la première équation, quand on y remplace par un objet quelconque, ne donne que des égalités homogènes ; et il en est encore ainsi de la seconde, à condition que la prémisse soit elle-même une égalité homogène.
C’est encore là de l’induction complète ; le membre de phrase que je viens de souligner le montre suffisamment. Ainsi encore ici M. Hilbert est oblige d’avoir recours au principe d’induction complète.
Vient ensuite une phrase tout à fait énigmatique :
« Nous pouvons maintenant poursuivre notre synthèse. Exprimant toujours dans le même langage les axiomes bien connus relatifs à l’induction complète, nous constatons que ces axiomes peuvent être sans contradiction adjoints aux précédents. » Comment le constate-t-on ? Cela reste mystérieux ; il y a bien un renvoi à une communication faite au Congrès de Paris, mais si l’on se reporte à cette communication, on n’y voit pas que le problème soit résolu, mais simplement qu’il serait fort désirable qu’il le fût.
D’ailleurs, quand même M. Hilbert serait parvenu à justifier le principe d’induction complète, cette justification serait bien tardive, puisque l’on a déjà appliqué ce principe deux fois.
La lecture des lignes suivantes ne fait qu’augmenter notre perplexité.
« Il n’y a aucune difficulté à fonder le concept de nombre ordinal fini… » ; puis vient l’énoncé d’un axiome analogue à l’axiome 5 de Peano, et on montre par un « exemple » qu’il n’implique pas contradiction.
