raison à M. Hilbert, c’est l’exemple de M. Burali-Forti, dont nous avons parlé plus haut à propos de la Pasigraphie.
M. Burali-Forti a précisément raisonné, sans se conformer au principe II de Hilbert, et il semble qu’il s’est trompé ; heureuse erreur d’ailleurs, et particulièrement instructive.
En tout cas, entre Hilbert et Russell, la logique est hors d’état de décider.
Poursuivons l’exposé des idées de Hilbert. Il introduit les deux axiomes suivant :
(1)
(2) Si et
Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole jusqu’ici vierge de toute signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.
Et, en effet, dit M. Hilbert, toutes les propositions qu’on en peut déduire sont de la forme (ce sont ce que dans le langage vulgaire on appellerait des identités), ces propositions ne peuvent donc être contradictoires.
Mais comment verra-t-on que toutes ces propositions sont des identités ? Considérons une série de conséquences déduites de nos axiomes, et arrêtons-nous à un certain stade dans cette série ; si à ce stade, nous n’avons encore obtenu que des identités, nous pourrons vérifier qu’en appliquant à ces identités l’une quelconque des opérations permises par la logique, on n’en pourra déduire que de nouvelles identités.
On en conclura qu’à aucun moment on ne pourra obtenir autre chose que des identités ; mais raisonner ainsi, c’est faire de l’induction complète.
M. Hilbert introduit ensuite trois symboles nouveaux , , et qu’il définit par trois axiomes :
(3)
(4)
(5)
