théorèmes d’existence de la Géométrie reposent sur la considération de certains ensembles de nombres (p. 30). Mais cela vient de ce que ces nombres ont pour éléments ultimes les nombres finis ; c’est donc avec et par les nombres finis que le principe d’induction s’introduit en Géométrie. D’ailleurs, j’ai essayé de réduire à sa juste valeur cette intervention de l’idée de nombre en Géométrie, en montrant qu’il ne s’agit que de théorèmes d’existence, et que par suite les nombres ne sont pas appelés à constituer l’espace, mais seulement à en fournir un modèle ou un schéma, c’est-à-dire un ensemble simplement analogue (par ses propriétés formelles et « relationnelles »)[1]. Donc, dans tous les cas, cela ne permet pas de considérer le principe d’induction comme un postulat de la Géométrie, lors même qu’il serait un postulat de l’Arithmétique.
La seconde faute capitale dont M. Poincaré accuse les logisticiens consiste à changer subrepticement de définition : « Vous donnez du nombre une définition subtile, puis, une fois cette définition donnée, vous n’y pensez plus… et quand le mot nombre se retrouve plus loin sous votre plume, vous y attachez le même sens que le premier venu… Voici un mot dont nous avons donné explicitement une définition ; nous en faisons ensuite dans le discours un usage qui suppose implicitement une autre définition » (p. 821). C’est là un reproche très grave, qu’on ne peut pas adresser sans preuve à des logiciens aussi rigoureux et aussi exercés que M. Peano et ses collaborateurs. Or M. Poincaré ne l’accompagne d’aucune preuve, et se borne à l’appuyer sur des réflexions générales de méthode qui s’adressent moins aux logisticiens qu’à tout autre, car il y est sans cesse question de « mots » et de « phrases ». Sans doute, les mathématiciens qui raisonnent avec des mots et des phrases sont exposés à attribuer à un terme, au lieu du sens assigné par la définition, le sens que lui impose l’usage courant. Mais c’est justement pour éviter ces associations et implications illogiques que les logisticiens emploient des symboles, dont le sens est uniquement déterminé par leurs relations formelles, et que l’on manipule en vertu de règles formelles de calcul. M. Poincaré a-t-il donc déjà oublié qu’il
- ↑ Les Principes des Mathématiques, p. 212;
