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L. COUTURAT. — Pour la Logistique.

$1\,=$ Cls ∩ $u$ ( u − = Λ :$x\,\epsilon \,u$. ͻ . $u-\iota x\epsilon 0)$

« Un est la classe des classes $u$ non nulles telles que, si $x$ est un $u$, la classe des $u$ non identiques à $x$ est nulle ». Cela suppose, naturellement, la définition de la classe nulle ; mais, comme on voit, il n’y a plus, même problématiquement, deux éléments de la classe $u$ ; il n’y en a qu’un seul, et l’on se borne à exprimer qu’il n’y en a pas d’autre^[1].

Dira-t-on que, par le seul fait qu’on parle d’un élément, on implique le nombre un ? Mais c’est là une objection que M. Poincaré ne formule pas, et à laquelle j’ai répondu d’avance par le passage suivant : « Il ne faut pas croire que la définition du nombre un constitue un cercle vicieux, car la définition de la classe singulière repose uniquement sur la relation d’identité. S’il est vrai qu’elle implique en un sens l’unité ou plutôt l’individualité de l’élément considéré cette unité ne peut être identique au nombre un qu’il s’agit de définir : car cette unité est une propriété de chaque élément, tandis que le nombre un est la propriété d’une classe…. Donc, dans tous les cas, les unités qui constituent un nombre cardinal sont différentes du nombre un^[2]. »

La confusion qui existe dans beaucoup d’esprits entre ces deux idées vient, croyons-nous, du double sens du mot un, qui est tantôt nom de nombre, et tantôt simple article indéfini. Dans ce dernier sens, il vaut mieux employer quelque, comme le font les logiciens^[3]. Cette équivoque existe en français et en allemand ; elle n’existe pas en anglais (a article indéfini ; one nom de nombre. Si donc quelqu’un est disposé à l’invoquer, qu’il prenne garde d’abuser, non de « la richesse », mais de la pauvreté de la langue française. En résumé, il ne suffit pas de concevoir un objet quelconque pour

1. Voici une définition plus fondamentale que nous communique M. Russell : Un est la classe des classes $u$ telles que la proposition : « « $x$ est un $u$ » équivaut, pour toutes les valeurs de $x$, à « $x$ est identique à $c$ » » » n’est pas fausse pour toutes les valeurs de $c$ ». On voit que cette définition ne suppose plus la notion de classe nulle. Quant à la formule « $x$ est un $u$ », voir plus bas sa définition.
2. Les Principes des Mathématiques, ch. ii § A (p. 47-48 ; Revue, t. XII, p. 214. M. Poincaré semble proposer ou accepter une telle justification, quand, après avoir cité cette phrase de M. Hilbert : « Prenons en considération l’objet 1 », il ajoute : « Remarquons qu’en agissant ainsi nous n’impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n’est ici qu’un symbole… » (p. 18). Sans doute, mais c"est un symbole, c’est-à-dire un objet. M. Poincaré dira-t-il que cela implique le nombre un ? Ou accordera-t-il aux logisticiens la même liberté qu’à M. Hilbert ?
3. Et aussi M. Méray, donnant ainsi un exemple de logique aux autres mathématiciens.