LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE
J’arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert qu’il a communiqué au Congrès des Mathématiciens à Heidelberg, et dont une traduction française due à M. Pierre Boutroux a paru dans l’Enseignement Mathématique, pendant qu’une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans the Monist. Dans ce travail, où l’on trouvera les pensées les plus profondes, l’auteur poursuit un but analogue à celui de M. Russell, mais sur bien des points il s’écarte de son devancier.
« Cependant, dit-il, si nous y regardons de près, nous constatons que dans les principes logiques, tels qu’on a coutume de les présenter, se trouvent impliquées déjà certaines notions arithmétiques, par exemple la notion d’Ensemble, et dans une certaine mesure, la notion de Nombre. Ainsi nous nous trouvons pris dans un cercle et c’est pourquoi, afin d’éviter tout paradoxe, il me paraît nécessaire de développer simultanément les principes de la Logique et ceux de l’Arithmétique. »
Nous avons vu plus haut, que ce que dit M. Hilbert des principes de la Logique tels qu’on a coutume de les présenter, s’applique également à la logique de M. Russell. Ainsi, pour M. Russell, la logique est antérieure à l’Arithmétique ; pour M. Hilbert, elles sont « simultanées ». Il convient d’observer que c’est en partie parce que M. Hilbert considère comme arithmétique la notion d’ensemble que M. Russell appelle la notion de classe et qu’il regarde comme logique. Nous trouverons plus loin d’autres différences plus profondes encore. Mais
- ↑ Voir Revue de Métaphysique et de Morale, n° de novembre 1905, p. 815-835.
