ments s’appellera une coupure. Parmi les suites Σ qui relient à , nous distinguerons celles dont un élément est indiscernable d’un des éléments de la coupure (nous dirons que ce sont celles qui coupent la coupure) et celles dont tous les éléments sont discernables de tous ceux de la coupure. Si toutes les suites Σ qui relient à coupent la coupure, nous dirons que et sont séparés par la coupure, et que la coupure divise . Si on ne peut pas trouver sur deux éléments qui soient séparés par la coupure, nous dirons que la coupure ne divise pas .
Ces définitions posées, si le continu peut être divisé par des coupures qui ne forment pas elles-mêmes un continu, ce continu n’a qu’une dimension ; dans le cas contraire il en a plusieurs. Si pour diviser , il suffit d’une coupure formant un continu à 1 dimension, aura 2 dimensions, s’il suffit d’une coupure formant un continu à 2 dimensions, aura 3 dimensions, etc.
Grâce à ces définitions, on saura toujours reconnaître combien un continu physique quelconque a de dimensions. Il ne reste plus qu’à trouver un continu physique, qui soit pour ainsi dire équivalent à l’espace, de telle façon qu’à tout point de l’espace corresponde un élément de ce continu, et qu’à des points de l’espace très voisins les uns des autres, correspondent des éléments indiscernables. L’espace aura alors autant de dimensions que ce continu.
L’intermédiaire de ce continu physique, susceptible de représentation, est indispensable ; parce que nous ne pouvons nous représenter l’espace, et cela pour une foule de raisons. L’espace est un continu mathématique, il est infini, et nous ne pouvons nous représenter que des continus physiques et des objets finis. Les divers éléments de l’espace, que nous appelons points, sont tous semblables entre eux, et, pour appliquer notre définition, il faut que nous sachions discerner les éléments les uns des autres, au moins s’ils ne sont pas trop voisins. Enfin l’espace absolu est un non-sens, et il nous faut commencer par le rapporter à un système d’axes invariablement liés à notre corps (que nous devons toujours supposer ramené à une même attitude).
J’ai cherché ensuite à former avec nos sensations visuelles un continu physique équivalent à l’espace ; cela est facile sans doute et cet exemple est particulièrement approprié à la discussion du nombre des dimensions ; cette discussion nous a permis de voir dans quelle mesure il est permis de dire que « l’espace visuel » a trois
