Résumons brièvement les résultats obtenus. Nous nous proposions de rechercher ce qu’on veut dire quand on dit que l’espace a trois dimensions et nous nous sommes demandé d’abord ce que c’est qu’un continu physique et quand on peut dire qu’il a dimensions. Si nous considérons divers systèmes d’impressions et que nous les comparions entre eux, nous reconnaissons souvent que deux de ces systèmes d’impressions ne peuvent être discernés (ce que l’on exprime d’ordinaire en disant qu’ils sont trop voisins l’un de l’autre, et que nos sens sont trop grossiers pour que nous puissions les distinguer) et nous constatons de plus que deux de ces systèmes peuvent quelquefois être discernés l’un de l’autre, bien qu’étant indiscernables d’un même troisième. S’il en est ainsi on dit que l’ensemble de ces systèmes d’impressions forme un continu physique . Et chacun de ces systèmes s’appellera un élément du continu .
Combien ce continu a-t-il de dimensions ? Prenons d’abord deux éléments et de , et supposons qu’il existe une suite Σ d’éléments, appartenant tous au continu , de telle façon que et soient les deux termes extrêmes de cette suite et que chaque terme de la suite soit indiscernable du précédent. Si l’on peut trouver une pareille suite Σ, nous dirons que et sont reliés entre eux ; et si deux éléments quelconques de sont reliés entre eux, nous dirons que est d’un seul tenant.
Choisissons maintenant sur le continu un certain nombre d’éléments d’une manière tout à fait arbitraire. L’ensemble de ces élé-
- ↑ Voir la Revue de mai 1903.
