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revue de métaphysique et de morale.

Sitûs, nous apprend à faire des distinctions parmi les continus d’un même nombre de dimensions et que la classification de ces continus repose encore sur la considération des coupures

De cette notion est sortie celle du continu mathématique à plusieurs dimensions de la même façon que le continu physique à une dimension avait engendré le continu mathématique à une dimension. La formule

qui résumait les données brutes de l’expérience impliquait une contradiction intolérable. Pour s’en affranchir, il a fallu introduire une notion nouvelle en respectant d’ailleurs les caractères essentiels du continu physique à plusieurs dimensions. Le continu mathématique à une dimension comportait une échelle unique dont les échelons en nombre infini correspondaient aux diverses valeurs commensurables ou non d’une même grandeur. Pour avoir le continu mathématique à $n$ dimensions, il suffira de prendre $n$ pareilles échelles dont les échelons correspondront aux diverses valeurs de $n$ grandeurs indépendantes appelées coordonnées. On aura ainsi une image du continu physique à $n$ dimensions, et cette image sera aussi fidèle qu’elle peut l’être du moment qu’on ne veut pas laisser subsister la contradiction dont je parlais plus haut.

§ 4. — La Notion de Point.

Il semble maintenant que la question que nous nous posions au début est résolue. Quand nous disons que l’espace a trois dimensions, dira-t-on, nous voulons dire que l’ensemble des points de l’espace satisfait à la définition que nous venons de donner du continu physique à trois dimensions. Se contenter de cela, ce serait supposer que nous savons ce que c’est que l’ensemble des points de l’espace, ou même qu’un point de l’espace.

Or cela n’est pas aussi simple qu’on pourrait le croire. Tout le monde croit savoir ce que c’est qu’un point, et c’est même parce que nous le savons trop bien que nous croyons n’avoir pas besoin de le définir. Certes on ne peut pas exiger de nous que nous sachions le définir, car en remontant de définition en définition il faut bien qu’il arrive un moment où l’on s’arrête. Mais à quel moment doit-on s’arrêter ?