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revue de métaphysique et de morale.

appartenant tous à ce même continu $\mathrm {C}$ et tels que chacun d’eux est indiscernable du précédent, que $\mathrm {E} _{1}$, est indiscernable de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {E} _{n}$ indiscernable de $\mathrm {B}$. On pourra donc aller de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ par un chemin continu et sans quitter $\mathrm {C}$. Si cette condition est remplie pour deux éléments quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du continu $\mathrm {C}$, nous pourrons dire que ce continu $\mathrm {C}$ est d’un seul tenant.

Distinguons maintenant quelques-uns des éléments de $\mathrm {C}$ qui pourront ou bien être tous discernables les uns des autres, ou former eux-mêmes un ou plusieurs continus. L’ensemble des éléments ainsi choisis arbitrairement parmi tous ceux de $\mathrm {C}$ formera ce que j’appellerai la ou les coupures.

Reprenons sur $\mathrm {C}$ deux éléments quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. Ou bien nous pourrons encore trouver une série d’éléments

$\mathrm {E} _{1}$, $\mathrm {E} _{2}$, ……, $\mathrm {E} _{n}$

tels : 1^o qu’ils appartiennent tous à $\mathrm {C}$ ; 2^o que chacun d’eux soit indiscernable du suivant ; $\mathrm {E} _{1}$, indiscernable de $\mathrm {A}$ et $E_{n}$ de $\mathrm {B}$ ; 3^o et en outre qu’aucun des éléments $E$ ne soit indiscernable d’aucun des éléments de la coupure. Ou bien au contraire dans toutes les séries $\mathrm {E_{1}}$, $\mathrm {E_{2}}$, ……,$\mathrm {E_{n}}$ satisfaisant aux deux premières conditions, il y aura un élément $\mathrm {E}$ indiscernable de l’un des éléments de la coupure.

Dans le 1^er cas, nous pouvons aller de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ par un chemin continu sans quitter $\mathrm {C}$ et sans rencontrer les coupures ; dans le second cas cela est impossible.

Si alors pour deux éléments quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ du continu $\mathrm {C}$, c’est toujours le premier cas qui se présente, nous dirons que $\mathrm {C}$ reste d’un seul tenant malgré les coupures.

Ainsi si nous choisissons les coupures d’une certaine manière, d’ailleurs arbitraire, il pourra se faire ou bien que le continu reste d’un seul tenant ou qu’il ne reste pas d’un seul tenant ; dans cette dernière hypothèse nous dirons alors qu’il est divisé par les coupures.

On remarquera que toutes ces définitions sont construites en partant uniquement de ce fait très simple, que deux ensembles d’impressions, tantôt peuvent être discernés, tantôt ne peuvent pas l’être.

Cela posé, si pour diviser un continu, il suffit de considérer comme coupures un certain nombre d’éléments tous discernables les uns des autres, on dit que ce continu est à une dimension ; si au contraire pour diviser un continu, il est nécessaire de considérer