de l’un corresponde un point de l’autre et un seul, et inversement ; et de plus que les coordonnées d’un point soient des fonctions continues, d’ailleurs tout à fait quelconques, des coordonnées du point correspondant. Je suppose d’autre part qu’à chaque objet du premier monde, corresponde dans le second un objet de même nature placé précisément au point correspondant. Je suppose enfin que cette correspondance réalisée à l’instant initial, se conserve indéfiniment. Nous n’aurions aucun moyen de discerner ces deux mondes l’un de l’autre. Quand on parle de la relativité de l’espace, on ne l’entend pas d’ordinaire dans un sens aussi large ; c’est ainsi cependant qu’il conviendrait de l’entendre.
Si l’un de ces univers est notre monde-euclidien, ce que ses habitants appelleront droite, ce sera notre droite euclidienne ; mais ce que les habitants du second monde appelleront droite, ce sera une courbe qui jouira des mêmes propriétés par rapport au monde qu’ils habitent et par rapport aux mouvements qu’ils appelleront mouvements sans déformation ; leur géométrie sera donc la géométrie euclidienne, mais leur droite ne sera pas notre droite euclidienne, ce sera sa transformée par la transformation ponctuelle qui fait passer de notre monde au leur ; les droites de ces hommes ne seront pas nos droites, mais elles auront entre elles les mêmes rapports que nos droites entre elles, c’est dans ce sens que je dis que leur géométrie sera la nôtre. Si alors nous voulons à toute force proclamer qu’ils se trompent, que leur droite n’est pas la vraie droite, si nous ne voulons pas confesser qu’une pareille affirmation n’a aucun sens, du moins devrons-nous avouer que ces gens n’ont aucune espèce de moyen de s’apercevoir de leur erreur.
Tout cela est relativement facile à comprendre et je l’ai déjà si souvent répété que je crois inutile de m’étendre davantage sur ce sujet. L’espace euclidien n’est pas une forme imposée à notre sensibilité, puisque nous pouvons imaginer l’espace non-euclidien ; mais les deux espaces euclidien et non-euclidien ont un fond commun, c’est ce continuum amorphe dont je parlais au début ; de ce continuum nous pouvons tirer soit l’espace euclidien, soit l’espace lobatchewskien, de même que nous pouvons, en y traçant une graduation
