mouvements non-euclidiens, les droites non-euclidiennes restent des droites non-euclidiennes et les droites euclidiennes ne restent pas des droites euclidiennes. On n’a donc pas démontré qu’il était déraisonnable d’appeler droites les côtés des triangles non-euclidiens ; on a démontré seulement que cela serait déraisonnable si on continuait d’appeler mouvements sans déformation les mouvements euclidiens ; mais on aurait montré tout aussi bien qu’il serait déraisonnable d’appeler droites les côtés des triangles euclidiens si l’on appelait mouvements sans déformation les mouvements non-euclidiens.
Maintenant quand nous disons que les mouvements euclidiens sont les vrais mouvements sans déformation, que voulons-nous dire ? Nous voulons dire simplement qu’ils sont plus remarquables que les autres ; et pourquoi sont-ils plus remarquables ? c’est parce que certains corps naturels remarquables, les corps solides, subissent des mouvements à peu près pareils.
Et alors quand nous demandons : peut-on imaginer l’espace non-euclidien ? cela veut dire : pouvons-nous imaginer un monde où il y aurait des objets naturels remarquables affectant à peu près la forme des droites non-euclidiennes, et des corps naturels remarquables subissant fréquemment des mouvements à peu près pareils aux mouvements non-euclidiens ? J’ai discuté la question dans mes articles antérieurs.
On a souvent observé que si tous les corps de l’Univers venaient à se dilater simultanément et dans la même proportion, nous n’aurions aucun moyen de nous en apercevoir, puisque tous nos instruments de mesure grandiraient en même temps que les objets mêmes qu’ils servent à mesurer. Le monde, après cette dilatation, continuerait son train sans que rien vienne nous avertir d’un événement aussi considérable.
En d’autres termes, deux mondes qui seraient semblables l’un à l’autre (en entendant le mot similitude au sens du 3e livre de géométrie) seraient absolument indiscernables. Mais il y a plus, non seulement deux mondes seront indiscernables s’ils sont égaux ou semblables, c’est-à-dire si l’on peut passer de l’un à l’autre en changeant les axes de coordonnées, ou en changeant l’échelle à laquelle sont rapportées les longueurs ; mais ils seront encore indiscernables si l’on peut passer de l’un à l’autre par une « transformation ponctuelle » quelconque. Je m’explique. Je suppose qu’à chaque point
