dire la neutralité absolue du lieu, réceptacle amorphe partout identique à lui-même et indifférent à son contenu.
II. — Les autres jugements analytiques qui se trouvent à la base de la géométrie sont les axiomes ou notions communes d’Euclide ; ce sont, ou des définitions de mots, ou des spécifications du principe d’identité, qui est le fondement et le type des jugements analytiques.
III. — M. Renouvier commente ingénieusement la définition assez obscure d’Euclide : La ligne droite est celle qui est identiquement placée par rapport à ses points. Il y voit un jugement analytique décrivant l’idée de direction, qui est un élément primitif de notre intuition : c’est l’une quelconque des trois dimensions de l’espace. Des trois demandes d’Euclide : 1° D’un point à un autre on peut toujours mener une droite ; 2° Une droite finie peut être prolongée continuellement dans sa direction ; 3° Deux droites n’enceignent pas un espace, les deux premières sont analytiques, car elles se bornent à rendre explicites les caractères essentiels de l’idée de direction ; elles posent la possibilité de la ligne droite indéfinie, qui est un fait d’intuition. La troisième équivaut à la proposition plus connue des modernes : D’un point à un autre on ne peut mener qu’une droite, qui passe à tort pour un postulat, car elle se déduit analytiquement des deux premières, l’idée d’une direction allant d’un point à un autre impliquant l’unicité de cette direction. Ainsi cette troisième demande ne fait, comme les deux premières, qu’analyser l’idée irréductible de direction, telle qu’elle est donnée dans l’intuition. De même, la possibilité du plan est un fait d’intuition, et par conséquent son affirmation est un jugement analytique.
IV. — Le véritable postulat de la ligne droite, comme l’a montré Kant, est au contraire ce qui passe vulgairement pour en être la définition : La ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. Ce postulat de la droite comme distance est manifestement un jugement synthétique, il unit un concept qualitatif, le droit, et un concept quantitatif, le plus court, et celui-ci ne peut évidemment être déduit du premier par aucune analyse, puisqu’ils sont hétérogènes. Si Euclide n’a pas employé ce postulat, c’est qu’il en avait un équivalent, à savoir qu’on peut tracer une circonférence de rayon donné. Dans cette demande, en effet, est impliquée la notion de la droite comme distance, puisque le rayon est pris pour distance du centre à chacun des points de la circonférence. Il faut lui adjoindre le postulat de l’enveloppement, dû aussi à Archimède, et qui peut s’énoncer : De deux lignes convexes du même côté situées dans un même plan et ayant mêmes extrémités l’enveloppante est plus longue que l’enveloppée[1]. C’est encore la synthèse d’un rapport de figure, à savoir la convexité et l’enveloppement réciproque de deux lignes, et d’un rapport de grandeur, à savoir l’inégalité de leurs longueurs.
V. — On trouve dans Euclide un autre axiome qui est un exemple frappant
- ↑ On nous permettra de citer une définition de la convexité qui nous paraît plus claire et plus exacte que celle que M. Renouvier donne de la concavité (p. 12) : Une ligne est dite convexe quand elle est située tout entière du même côté de l’un quelconque de ses côtés indéfiniment prolongé, si elle est brisée ; ou de l’une quelconque de ses tangentes, si elle est courbe.
