Dans le second cas, où le plan Π passe au-dessus du point P, la droite XY ne rencontre pas la circonférence. Il s’ensuit que la vitesse du point M ne s’annule jamais : elle a son maximum en P’ et son minimum en P. Le mobile parcourt donc la circonférence toujours dans le même sens. Son mouvement est encore périodique en ce cas, et la période comprend la durée d’une rotation complète, après laquelle le point mobile repasse avec la même vitesse aux mêmes points.
Mais, outre ces deux cas généraux, il y a encore un cas particulier, intermédiaire entre ceux-là : c’est à savoir quand le plan Π passe par le point P. Alors la droite horizontale XY est tangente au cercle au point P : la vitesse du point M est donc nulle au point P, et ne s’annule qu’en ce point de la circonférence. Il est aisé de voir ce qui arrive dans ce cas : le pendule, après avoir franchi le point P’, remonte avec une vitesse qui décroît indéfiniment à mesure qu’il se rapproche du sommet P de sa trajectoire. Il ne peut s’arrêter avant le point P, puisqu’en tout autre point sa vitesse n’est pas nulle ; il doit donc finir par atteindre P, et s’y arrêter, car s’il se trouve avec une vitesse nulle dans cette position d’équilibre, il y restera indéfiniment. Le mouvement, dans ce cas, n’est plus périodique. Ainsi, dans la suite continue des divers cas que présente le mouvement du pendule, et que figurent géométriquement les diverses positions du plan Π, tous sont périodiques, sauf un, et ce cas unique se trouve intermédiaire entre les cas où le mouvement est une oscillation alternative et ceux où il est une rotation continue.
Pour mieux comprendre comment ce cas singulier peut se rattacher par continuité à deux cas généraux si différents et si tranchés, auxquels il s’oppose également, il faut tenir compte de la durée des périodes dans l’un et l’autre mouvement. La période, c’est-à-dire la durée d’une oscillation complète dans le premier cas, d’une rotation dans le second cas, est d’autant plus longue que le plan Π est plus voisin du point P (soit au-dessous, soit au-dessus). Quand le plan Π passe par P, le pendule n’arrive au point P qu’après un temps infini : la durée de l’oscillation ou de la rotation (qui se confondent en ce cas) est infinie. On conçoit dès lors que ce cas particulier puisse être considéré comme la limite (au sens mathématique du mot) des deux cas généraux, qu’il sépare et relie à la fois ; et que, dans ce cas-limite, on puisse dire que le mouvement du pendule est encore périodique, mais que la période est infinie.
Cet exemple suffit à prouver que le principe de la conservation de l’énergie n’entraîne pas nécessairement la périodicité du mouvement. Il nous servira en même temps à montrer le défaut de la démonstration, en apparence rigoureuse, par laquelle M. Weber essaie d’établir que tout système conservatif doit parcourir un cycle fermé[1] : « De deux choses l’une : ou cette variation (d’énergie potentielle) ΔP, s’effectuant toujours dans le même sens finira par dépasser la valeur P’ telle que la somme (P + P’) soit égale à l’énergie totale du système, ce qui est contraire à l’hypothèse ;
- ↑ Le lecteur est prié de relire tout ce passage (p. 446), que nous ne pouvons citer en entier à cause de sa longueur.
