sition suivante : Le rectangle construit sur les segments rectilignes qui correspondent aux deux valeurs téléo-positives A, B, équivaut au rectangle construit sur l’unité de longueur et le segment rectiligne qui correspond au produit A.B (on suppose essentiellement perceptibles les trois segments dont il s’agit),
À cet effet, nous désignerons par am la plus grande valeur commensurable de dénominateur m qui ne soit pas supérieure à A ; par bm la plus grande valeur commensurable de dénominateur m qui ne soit pas supérieure à B ; par αm, βm les numérateurs respectifs de am, bm ; enfin par θm, ρm le quotient et le reste de la division du produit αm.βm par m. Nous dirons en outre, pour faciliter le langage, qu’un rectangle est construit sur deux nombres, s’il a pour dimensions les segments rectilignes qui correspondent physiquement à ces deux nombres.
Cela posé, le rectangle construit sur am et bm, c’est-à-dire sur
peut se décomposer en αm.βm carrés égaux construits sur la mième partie
de l’unité de longueur, et la relation
(3) αm.βm = m.θm + ρm,
où l’on a
(4) ρm < m,
montre qu’une juxtaposition convenable des carrés dont il s’agit le
transforme en une somme de deux autres rectangles respectivement
construits sur le couple
(5) 1, { θm, m}
et sur le couple
(6) { ρm, m}, { 1, m }.
Donnons maintenant à m des valeurs sans cesse croissantes. Les
variantes am, bm ayant pour valeurs infinitésimales A, B (il serait
facile de le prouver), le rectangle construit sur am et bm finit par
devenir physiquement identique au rectangle construit sur A et B.
Les relations (3), (4) donnent d’ailleurs
d’où résulte que la variante { θm, m } a pour valeur infinitésimale
A.B ; et dès lors, le rectangle construit sur le couple (5) finit par
devenir physiquement identique au rectangle construit sur 1 et A.B.
