qui se réduit à
![{\displaystyle 2[ACE]=2[ABFE]+4[BCM]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956e0bc5f80ed9f04f3a191931aaab7ecdf6299d)
![{\displaystyle [ACE]=[ABFE]+2[BCM]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211a36471acf2806ae818b33f66b40e41891b543)
ABFE étant la moitié du parallélogramme ACGE, ; d’autre part le triangle BCM étant semblable au triangle ACE de côtés doubles, le rapport de et de est exprimé par la puissance troisième de 2 ; . De l’équation va se tirer l’expression finale :
![{\displaystyle [ABFE]={\frac {1}{4}}[ACGE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab322a522878ee38bbaff362984770a30227720c)
![{\displaystyle [BCM]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80200a11258deaf7f246962d9ed49fb56198da71)
![{\displaystyle [ACE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e0fad4f16b7e841deda04394f61eaa25974ee)
![{\displaystyle [ACE]=8[BCM]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc1bfa7bf01ddcd4b45c8ce9a69e8d0ecdce54d)
![{\displaystyle [ACE]={\frac {1}{4}}[ACGE]+{\frac {1}{4}}[ACE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec4458cb79ae1b8c7f6a29a05d4a717af20d5db)
.
![{\displaystyle [ACE]={\frac {1}{3}}[ACGE]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d38c54ba9400c52341607feb932afa966c0c81f)
Cette expression, qui fournit la démonstration d’un théorème d’énoncé purement géométrique, donne la forme de l’intégrale définie :
Mais cette forme ne se trouve naturellement pas dans la Geometria promota. Cavalieri n’aborde pas d’une façon directe le problème de l’intégration, en ce sens qu’il ne détermine pas une grandeur totale par rapport à ses parties élémentaires, infiniment petits ou, comme dit Cavalieri, indivisibles. Au contraire, et suivant les expressions de M. Marie, « l’évaluation d’une somme finie d’éléments infiniment petits se trouve remplacée par celle du rapport de deux sommes infinies d’éléments finis, en nombre illimité ». M. Marie ajoute « cette préférence s’explique aisément ; les éléments finis des termes du rapport peuvent être figurés géométriquement tandis que les éléments infiniment petits de la somme ne pouvaient pas l’être[1] ». La remarque est importante pour nous, parce qu’elle indique à merveille ce qui faisait la valeur proprement scientifique de la géométrie nouvelle et ce qui devait donner prise aux critiques du dogmatisme philosophique.
La méthode de comparaison permet d’éliminer dans les calculs la considération de l’infini qui, a été utilisée pour poser les termes du problème. Cavalieri s’exprime sur ce point avec une netteté parfaite « Dum considero omnes lineas, vel omnia plana alicujus fîguræ, me non numerum ipsarum comparare, quem ignoramus, sed
- ↑ Liv. II, p. 53.
