G. lechalas. – De l’infini mathématique. 469
x,. r. ,i.. “ u™ ^^riinni nrétendue indépendante du nombre la théorie du nombre ordinal, prétendue indépendante du nombre cardinal, repose effectivement sur un véritable dénombrement de collections concrètes et sur l’idée d’unité. C’est donc bien cette idée qui sert de base réelle à tout l’échafaudage, et l’on revient par suite ;à,la théorie rationaliste de’ M. Couturat, si l’on ne veut tomber dans l’empirisme le plus complet et le plus flagrant. La discussion qui précède a eu pour objet essentiel de montrer. que en s’appuyant sur la critique même de la théorie empinste du nombre cardinal, telle que l’a présentée M. Couturat, et sur la théorie rationaliste de ce nombre, on peut formuler une critique analogue de la théorie du nombre ordinal. Achevons maintenant, · avec lui, l’étude du nombre cardinal. Ainsi qu’il le fait justement remarquer, à la suite de Cantor, l’idée de ce nombre n’est pas achevée tant qu’on n’a pas, par un acte synthétique de pensée,. conçu la collection d’unités tout entière comme un objet, donc comme une ; si donc le nombre entier est une pluralité d’unités, il est aussi l’unité d’une pluralité. On voit en même temps que le dénombrement, loin de créer l’idée de nombre, la présuppose, car il ne suffit pas, pour pouvoir dénombrer une collection donnée, que chacun des objets soit conçu comme un il faut en outre que la collection tout entière possède les mêmes caractères d’unité et d’identité, au moins provisoires, mais aussi durables que le dénombrenient lui-même. Ajoutons que M, Couturat tire de là une conséquence favorable au nombre infini, puisque, le nombre d’une collection préexistant au dénombrement de celle-ci, on peut.dire qu’il ne suppose même pas la possibilité de ce dénombrement. Abordant ensuite la question de la dépendance absolue dans laquelle l’idée de nombre serait, d’après Kant, à l’égard de celle du temps, il indique que cette dépendance serait réelle si l’on devait adopter la théorie qui voit dans le nombre ordinal la forme primitive du nombre ; mais il nous semble que, même dans ce cas, la thèse kantienne serait inexacte, car l’idée d’ordre peut subsister indépendamment du temps, soit dans l’espace, soit entre des relations d’un autre ordre, celle de hauteur pour les sons, par exemple. Il est vrai que nous ne pouvons compter les objets simultanés que par une opérabien reposer l’idée de nombre ordinal sur celle de nombre cardinal, mais il n’a pas montré que les empiristes sont obligés de le faire sans s’en rendre compte.
