g. lechalas. De V infini mathématique. 461
qu’au contraire c’est parce qu’elles ont le même nombre qu’elles peuvent être. coordonnées.
On ne saurait d’ailleurs tirer l’idée d’un nombre de la considération d’une collection d’objets, par l’abstraction de leurs caractères distinctifs, car l’unité, à laquelle devrait se réduire chaque objet, n’est ni une perception ni un élément, de perception. Du reste ce qu’une telle abstraction donnerait, ce serait le concept de « quelque chose concept étranger à l’idée de nombre, car « quelque chose », c’est aussi bien deux louis qu’un louis. Pour pouvoir répéter ce concept de « quelque chose » et l’extérioriser par rapport à lui-même, il faut, l’appliquant à plusieurs objets, concevoir chacun d’eux comme un « quelque chose » ; et alors ce n’est pas le concept de « quelque chose » qui constitue le nombre par sa répétition, mais bien l’idée d’unité, qui permet seule de le répéter. De tout cela résulte que, si l’idée mathématique de nombre peut reposer sur. l’égalité des pluralités, celle-ci repose, à son tour, sur l’idée métaphysique d’unité. Le mathématicien n’a, du reste, pas plus à détinir le nombre qu’aucun concept fondamental ; il définit seulement l’égalité des nombres, mais sa définition suppose l’idée métaphysique du nombre. En un mot, toutes les définitions mathématiques du nombre impliquent l’idée philosophique du nombre entier, conçu comme une collection d’unités, non comme une somme d’unités, car la notion de somme suppose celle de nombre pour définir l’addition des nombres entiers, il faut avoir défini ces nombres, et, selon une ingénieuse remarque de Cantor, pour pouvoir définir le nombre entier comme la somme de ses unités, il faudrait savoir d’avance de combien d’unités il se compose, c’est-à-dire connaître déjà ce nombre et en avoir l’idée préconçue. Au’contraire, il n’y a aucun cercle vicieux à concevoir le nombre entier comme une collection d’unités, parce que l’idée de collection ou de pluralité n’est pas mathématique indépendante de la définition de l’addition, elle y est même impliquée, car la somme de deux ou plusieurs nombres entiers est le nombre formé par la réunion de leurs unités. Ainsi la notion mathématique de somme suppose l’idée rationnelle de collection ou de « réunion », et c’est justement pour cela qu’elle ne peut pas la remplacer dans la définition philosophique du nombre.
Cela étant, on montre aisément, comme dans la théorie empiriste, qu’un nombre entier est égal la somme arithmétique des unités qui
