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l’autre, mais cela ne prévaudra point contre l’axiome de l’invariance, qui est établi a priori. Ainsi donc la condition essentielle de la permanence, et par suite de l’existence même du nombre cardinal d’un ensemble donné, n’est pas l’identité matérielle de son contenu, mais l’identité formelle des unités qui le constituent à l’origine. On arrive finalement à cette conclusion que toute collection, en tant que dénombrable, est conçue comme un nombre entier cette dernière idée préexiste donc au dénombrement d’où l’on prétend la tirer.
En résumé’, la théorie empiriste « est une théorie psychologique et positiviste. Elle se borne en effet à. décrire l’acte psychologique du dénombrement, sans en rechercher le principe et la raison d’être ; elle constate le fait matériel et positif, à savoir que l’on compte les objets en disant (mentalement) un, deux, trois, quatre. mais elle ne peut l’expliquer, car elle en ignore la signification logique et la valeur rationnelle. Elle réduit l’idée de nombre à un simple signe oral ou écrit, et elle aboutit fatalement à ce formalisme verbal qui est le nominalisme des mathématiciens (p. 331) n. Cette critique de la théorie empiriste conduit naturellement à l’exposé de la théorie rationaliste du nombre entier, car elle la contient implicitement, puisqu’elle repose sur la mise en évidence de l’idée d’unité comme base du dénombrement. Avant, d’ailleurs, de développer sa théorie, M. Couturat en critique quelques-unes qui en diffèrent plus ou moins. Citons spécialement celle de Stolz sur les pluralités. Elle repose sur les deux définitions suivantes « Une pluralité est un ensemble d’objets distincts dont on néglige les différe’nces et l’ordre. – Deux pluralités sont égales quand on peut les coordonner entre elles d’une manière uniforme et complète, en faisant correspondre à chaque élément de l’une un élément distinct de l’autre. » Enfin, il compare toutes les pluralités à celles qu’on obtient par la répétition du signe 1, qu’on appelle unité, et il appelle nombre toute pluralité d’unités.
Cette théorie est assez faible, car les pluralités sont en réalité composées d’unités, puisqu’on fait correspondre un à un tous les éléments de deux pluralités égales ; en outre, quelle est la portée de ces pluralités formées de signes 1 juxtaposés, si l’on n’ajoute pas à. ce, signe l’idée d’unité ? On voit donc bien qu’il ne faut pas dire que deux collections coordonnées ont par suite le même nombre, àlors
