question le paramètre indéterminé λ qui s’introduit de lui-même dans celle des harmoniques.
L’analogie analytique était à peine plus utilisable que l’analogie physique. Il est vrai que la solution fournie par Poincaré fit apparaître dans les deux cas les mêmes résultats essentiels, mais non pour les mêmes raisons.
En un mot, les fonctions fondamentales, au lieu d’être suggérées par une interprétation physique simple, devaient ici sortir tout armées du cerveau de l’analyste.
Poincaré montra cependant que la vraie signification de la méthode de Neumann n’était autre que le développement de la solution par rapport aux puissances d’un certain paramètre qu’il introduit dans les données du problème, et que toutes les autres circonstances principales rencontrées à propos de l’étude des sons harmoniques se retrouvent ici.
Ces résultats étaient d’ailleurs essentiels pour la méthode de Neumann elle-même : car ils permettaient d’en établir la légitimité sans les restrictions qu’avait apportées son auteur.
Avec eux, — et aussi, ajoutons-le, après la méthode de Robin, à côté de laquelle il faut citer les travaux bien connus de M. Volterra —, tout était prêt pour l’entrée en scène de la méthode de M. Fredholm.
Celle-ci, en eftet, suit pas à pas la marche que nous venons de retracer. Elle repose essentiellement sur l’introduction du paramètre λ de Poincaré et sur la manière dont il figure dans l’expression de l’inconnue. Seulement, grâce à sa belle méthode de résolution des équations intégrales, M. Fredholm peut écrire, sous forme de développements en séries immédiatement connus, le numérateur et le dénominateur que Poincaré n’obtenait que par de délicates approximations successives.
Ainsi les solutions de tous ces problèmes fondamentaux de la Physique mathématique, — et en particulier, la détermination des sons propres, où la forme des domaines intervient d’une manière si mystérieuse — sont acquises dès les Mémoires mentionnés tout à l’heure.
Seulement, pour reprendre la parole même de Poincaré que nous citions en commençant (voir page 484), ces mêmes problèmes sont « plus » résolus par la méthode de Fredholm.
