molécules par celles des nébuleuses et inversement, il fallait dominer à la fois les unes et les autres. Il fallait un successeur de Laplace, qui fût en même temps un successeur de Clausius et de Boltzmann, pour écrire les Leçons sur les hypothèses cosmogonigues.
Malgré cette évolution qui a augmenté l’importance des équations differentielles ordinaires pour la Physique mathématique, celle-ci continue — et continuera — à s’appuyer sur les équations aux dérivées partielles.
Pour celles-ci encore, et plus nettement même que pour les précédentes, la solution telle qu’on la concevait primitivement — ce qu’on a appelé l’intégration formelle — est hors de cause. Non seulement l’intégrale générale, par le moyen des symboles élémentaires connus, est le plus souvent introuvable ; mais même une fois obtenue, elle ne rend pas les mêmes services que dans le cas des équations différentielles et ne dispense pas de recherches aussi difficiles ou plus difficiles que celles qui ont conduit à l’écrire lorsqu’on veut l’appliquer au véritable problème qui se pose le plus généralement. Ce problème consiste à chercher non plus toutes les solutions indistinctement, mais au contraire une solution (en général, unique) assujettie à vérifier, outre l’équation à intégrer un certain système de conditions accessoires données.
Les difficultés qu’il présente peuvent être, suivant les cas, de nature très différente.
Il peut arriver qu’elles ressemblent, avec des différences de degré, à ce qu’elles sont pour les équations différentielles, de sorte que la solution puisse être considérée au point de vue théorique comme fournie localement par les méthodes de Cauchy, quitte, dans une seconde partie du travail, à faire la synthèse des différents éléments de solution ainsi obtenus.
C’est ce qui se passe — l’équation étant supposée introduite par étude d’un phénomène physique — lorsque celui-ci se déroule librement dans l’espace illimité, et où, par conséquent, pour définir son évolution, il suffit de se donner les conditions initiales, c’est-à-dire son état à un instant déterminé.
Mais si le phénomène a pour théâtre une enceinte limitée par des
