L’intégration est donc d’autant plus avancée que l’on connaît un plus grand nombre de ces intégrales.
Pour les équations de la mécanique céleste, le nombre des intégrales connues est de dix.
En peut-il, en général, exister d’autres exprimables par les moyens classiques de l’analyse ? Il était vraisemblable que non.
La preuve rigoureuse d’impossibilités de cette nature est une catégorie de questions dont la difficulté a, de tout temps, éveillé l’intérêt des géomètres vraiment supérieurs. On sait que la démonstration de l’incommensurabilité entre le côté d’un carré et sa diagonale, dans l’antiquité, celles de l’impossibilité de la quadrature du cercle et de la non-résolubilité des équations algébriques au delà du quatrième degré, dans les temps modernes, comptent à juste titre parmi les plus belles conquêtes des mathématiques.
En ce qui concerne les intégrales des équations de la Mécanique céleste, une démonstration de l’espèce en question avait été partiellement fournie par Bruns, mais c’est à Poincaré qu’il fut donné de la compléter et d’établir en toute rigueur l’inexistence non seulement d’intégrales algébriques, mais plus généralement, d’intégrales uniformes (voir p. 491) autres que les intégrales classiques.
Le résultat ainsi obtenu n’intéresse pas moins l’analyste pur que l’astronome. Sa portée n’est pas limitée au système différentiel particulier qui fait l’objet de la mécanique céleste. La même méthode qui l’a fourni permet de discuter le nombre des intégrales uniformes des problèmes de la mécanique classique, et lorsque ce nombre est insuffisant pour l’intégration, de trouver les seuls cas où il puisse s’accroître. Cette méthode est donc nécessairement à la base de toutes les recherches ultérieures sur ces sujets.
Elle ne doit pas moins attirer l’attention par les principes qu’elle fait intervenir. Elle a conduit Poincaré à étudier le développement de la fonction (fonction perturbatrice) qui donne les seconds membres des équations différentielles, sous un jour nouveau, en en considérant, non plus seulement les premiers termes, que l’on peut former explicitement, mais au contraire les termes d’ordres très élevés. Dans cette étude Poincaré utilise non seulement les résultats de théorie des fonctions dus à ses prédécesseurs et particulièrement à M. Darboux, mais leur généralisation aux fonctions de plusieurs variables, telle que la lui ont fournies ses recherches sur les résidus et les périodes des intégrales doubles. La Théorie des fonctions est
