racines d’une équation algébrique, devaient, même en vue de l’intelligence de chacune d’elles, être envisagées dans leurs rapports mutuels.
Poincaré procède dans cet esprit, pour l’étude des équations différentielles réelles, dès le premier cas auquel il s’attaque. Ce cas est le plus simple de tous, celui d’une équation unique du premier ordre et du premier degré, donnant dy/dx en fonction rationnelle de x et de y.
Quelles données possède-t-on sur les relations qui existent entre les différentes courbes intégrales de la même équation ? Une seule apparaît au premier abord : le fait que deux quelconques de ces courbes, si elles ne coïncident pas, ne peuvent se couper, sauf en certains point singuliers.
Voilà, semble-t-il, un point d’appui bien frêle : il a suffi cependant à Poincaré pour faire ressortir la nature du résultat cherché.
Celle-ci, une fois obtenue, met en évidence a posteriori la profonde difficulté du problème.
Généraliser une solution en mathématiques, c’est, le plus souvent, établir pour le cas général des conclusions tout analogues à celles qu’on a préalablement obtenues dans un cas particulier.
Rien de pareil ici : les conclusions obtenues par Poincaré pour une équation différentielle arbitraire du premier ordre et du premier degré sont sans rapport avec celles que pouvait faire prévoir l’étude des équations de ce type que l’on savait intégrer élémentairement.
Ces dernières fournissent le plus souvent des courbes intégrales toutes fermées ; quelquefois mais plus rarement déjà, des courbes intégrales dont aucune n’est fermée.
Mais les dispositions trouvées par Poincaré sont beaucoup plus étranges. Il existe en général un certain nombre de courbes intégrales qui sont des courbes fermées (des cycles, suivant la terminologie qu’il emploie). Toutes les autres, si elles n’aboutissent pas à des points singuliers, s’enroulent autour de certains de ces cycles (dits cycles limites) de manière à s’en rapprocher de plus en plus à la façon du spiral d’une montre. L’enroulement a d’ailleurs lieu autour de l’un ou de l’autre des cycles limites suivant que la courbe intégrale considérée est située dans l’une ou dans l’autre de certaines régions du plan.
