premier cas, C dans le second, z étant également, dans ces domaines, défini sans ambiguïté en fonction de Z. Ce problème étendu admettra une solution déterminée (à une substitution homographique près), et qui le sera entièrement si l’on se donne, sur C, les homologues de trois points de c.
À cette différence on aperçoit immédiatement deux raisons : la première, résidant dans ce fait que les courbes c et C sont fermées et que dès lors le prolongement de la fonction cherchée tout le long de ces courbes doit présenter par rapport à l’arc de l’une d’elles, par exemple, une périodicité qui n’apparaissait point lorsqu’on se bornait à considérer des parties très petites des courbes en question ; la seconde, dans celui que la fonction cherchée ne doit plus seulement être définie au voisinage de c, mais dans tout l’intérieur de s.
C’est cette étude que Poincaré transporte au cas de deux variables, en séparant même, par l’introduction d’un problème intermédiaire, les deux caractères qui difierencient l’un de l’autre le problème local et le problème étendu. Les résultats changent d’ailleurs notablement de forme dans cette généralisation. Le problème local cesse lui-même d’être possible si des conditions en nombre infini ne sont pas remplies.
C’est à ces propositions fondamentales sur les fonctions de plusieurs variables qu’il faudrait rattacher les résultats obtenus par Poincaré sur les fonctions abéliennes, ceux qui dérivent de l’application des fonctions fuchsiennes exceptés.
Le résumé le plus sommaire de ces recherches nous entraînerait trop loin.
Disons seulement que leur point de départ est la distinction qu’il établit entre la théorie des fonctions abéliennes et celle des intégrales abéliennes, théories que, depuis Riemann, on était habitué à confondre l’une avec l’autre.
Si, comme on le sait depuis Riemann, les intégrales des fonctions algébriques s’expriment par le moyen des séries Θ, la solution ainsi obtenue dépasse en quelque sorte le but. Certaines fonctions Θ correspondent à des intégrales de l’espèce indiquée, mais elles sont spéciales : il en existe une foule d’autres qui n’ont point une origine de cette espèce.
La voie était ainsi ouverte à toute une nouvelle théorie des fonc-
