étaient indépendantes de la forme de la surface d’intégration (tant que celle-ci varie continûment sans rencontrer de singularités), une condition d’intégrabilité analogue à celle qui intervient pour les intégrales curvilignes ordinaires étant vérifiée.
Mais ceci fait, le calcul de la valeur de cette intégrale autour d’une singularité donnée, présentait des difficultés inattendues. Stiltjes qui l’avait effectué dans un cas particulier, n’avait pu le publier, le résultat donnant lieu à une objection qui semblait sans réplique. Pour y échapper, il fallait arriver à une vue exacte et pénétrante des propriétés géométriques d’une figure tracée dans l’hyper-espace. Poincaré montra ainsi comment la réponse à cette objection doit être cherchée dans l’influence du sens de l’intégration.
Ces deux séries de travaux de Poincaré restèrent, jusqu’en ces toutes dernières années, la seule base des travaux entrepris sur les fonctions de deux variables. Les plus importants, tels que celui de M. Cousin, dérivent du théorème sur les fonctions méromorphes et fournissent de nouvelles démonstrations de ce théorème.
Ce vaste domaine des fonctions de plusieurs variables devait encore offrir à Poincaré un autre objet de méditations. La représentation conforme offre, dès le cas d’une variable, un remarquable exemple de la différence profonde, qui existe entre les propriétés locales des fonctions et celles qui interviennent lorsqu’on les considère non plus au voisinage immédiat d’un point, mais dans tout leur domaine d’existence.
c étant une courbe du plan de la variable complexe z ; C, une courbe du plan de la variable complexe Z, soient d’abord z0 un point donné de c et Z0 un point donné de C. Si l’on cherche une fonction analytique F (z) telle que F(z0), soit égal à Z0 et que, si le point z décrit dans les environs de z0 un petit arc de c, le point Z = F (z) décrive un arc de C, ce problème local a une infinité de solutions dépendant d’une infinité d’arbitraires, même si l’on adjoint la condition que z soit également uniforme en fonction de Z.
Supposons, au contraire, que c et C soient deux courbes fermées limitant la première, une aire s, la seconde, une aire S, et cherchons une fonction analytique F(z) définie sans ambiguïté, non seulement sur (c), mais dans tout l’intérieur de s et qui, lorsque le point z décrit respectivement cette surface et cette courbe, prenne des valeurs Z telles que le point correspondant décrive S dans le
